Calcolare il seguente limite

[angelok90]

Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(1-cos^3x)^2}{x*sinx*arcsinx}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cos^3x-1))^2}{x\frac{sinx}{x}x\frac{arcsinx}{x}x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1)}{x^2}x^2)^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2}x^2(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(x^2(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(cos^2x+cos x+1)^2x^4}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(cos^2x+cos x+1)^2x}{\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}=0 \)

Volevo sapere se sto sbagliando qualcosa.
P.s.
C'era un altro modo per poter risolvere il limite?
Quel \(\displaystyle 1-cos^3 x \), mi dava un pò di problemi.

[feddy]

Prima di controllare tutti i conti: hai affrontato gli sviluppi di Taylor Mc-Laurin? Se sì, è sufficiente usare questi perché sono tutte fnuzioni che hanno sviluppi immediati

[angelok90]

Non ho affrontato gli sviluppi di Taylor Mc-Laurin.

[Anacleto13]

Questi limiti sono generalmente da risolvere tramite gli sviluppi di Taylor, mi sembra strano che ti sono stati assegnati dei limiti così senza aver prima fatto Taylor.
Domanda: ma ti sono stati assegnati o stai provando a farli tu così per esercizio?

[angelok90]

Ho visto gli sviluppi di Taylor:

\(\displaystyle cos x = 1-\frac{x^2}{2}+O_1(x^3) \)

\(\displaystyle cos^3 x = 1-\frac{3}{2}x^2+O_1(x^3) \)

\(\displaystyle sin x = x-\frac{x^3}{6}+O_2(x^3) \)

\(\displaystyle arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+O_3(x^3) \)

Qui sorge un problema, non so bene usando gli sviluppi di Taylor a che grado fermarmi.

[Anacleto13]

E' un problema iniziale per tutti.. per quello ci vuole esercitazione, con il tempo poi riesci a capire qual'è il grado giusto per risolvere il limite..

[angelok90]

Posso chiederti come l'avresti risolta tu?

[pilloeffe]

Ciao angelok90,

In realtà per risolvere il limite che hai proposto non sono necessari gli sviluppi in serie: bastano e avanzano i limiti notevoli... Il risultato che hai ottenuto è corretto. Personalmente l'avrei risolto in maniera magari un po' meno ridondante, ma simile, in particolare evitando di raccogliere quel $-$ a numeratore che non serve a niente: $1 - \cos^3 x = 1^3 - \cos^3 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)$. D'altronde il limite notevole di cui poi farai uso è il seguente:

$lim_{x \to 0} frac{1 - \cos x}{x^2} = frac{1}{2}$

insieme agli altri due $lim_{x \to 0} frac{\sin x}{x} = 1$ e $lim_{x \to 0} frac{arcsin x}{x} = 1$.