Calcolo Convoluzione

[daniele21]

Salve a tutti,
potreste aiutarmi con il calcolo della seguente convoluzione tre le funzioni:
$ f(x)=chi _{(-1,1)} $
$ g(x)=chi _{(-1,1)} $
non riesco a calcolare bene come variano gli estremi di integrazione quando calcolo la convoluzione con la definizione :
$ (fastg)(x)=int_(R) chi(x-t)_{(-1,1)}*chi(t)_{(-1,1)} dt $
Grazie

[Seneca]

\[ \int_{\mathbb{R}} \chi_{(-1,1)} (x-t) \chi_{(-1,1)} (t) dt \]
\[ \chi_{(-1,1)} (x-t) = \begin{cases} 0 & | x - t| \ge 1 \\ 1 & |x - t| < 1 \end{cases} \]
\[ \chi_{(-1,1)} (x-t) \chi_{(-1,1)} (t) = \begin{cases} 0 & | x - t| \ge 1 \text{ o } |t| \ge 1 \\ 1 & |x - t| < 1 \text{ e } |t| < 1 \end{cases} \]
Da qui in poi sapresti continuare?

[gugo82]

Beh, il conto si può fare in più modi... Io posso suggerire un modo geometrico.

Ad esempio, chiama $f(x,t)$ la funzione integranda e nota che essa assume il valore $1$ nel dominio $D\subset RR^2$ definito dalle limitazioni:
\[
-1<x-t<1 \text{ e } -1<t<1\quad \Leftrightarrow \quad x-1<t<x+1 \text{ e } -1<t<1
\]
il quale è un parallelogramma con vertici in $(-2,-1)$, $(0,-1)$, $(2,1)$ e $(-2,1)$ nel piano $Oxt$.
Per fissato $x in RR$, l'integrale di convoluzione fornisce la lunghezza del segmento che la retta passante per il punto $(x,0)$ del piano $Oxt$ stacca sul parallelogramma.
Dunque è facile stabilire che:
\[
\chi_{(-1,1)} *\chi_{(-1,1)} (x) = \begin{cases} x+2&\text{, se } -2<x\leq 0\\ 2-x &\text{, se } 0<x\leq 2\\ 0&\text{, altrimenti} \end{cases}\; .
\]