Vettori generatori di C^3 e indipendenza lineare

[j.a.c.k.]

Buonasera a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio di algebra lineare ma ho dei dubbi riguardo alla soluzione, spero che mi possiate aiutare.
Il testo è il seguente:
Per quali $\lambda$,$\muinbbb{C}$, i vettori v1 = $((1),(0),(λ))$, v2 = $((i),(\mu),(-2i\mu))$, v3 = $((1),(i),(2))$ generano $bb{C^3}$ e
sono linearmente indipendenti?

Punto 1: I vettori v1, v2, v3 sono generatori di $bb{C^3}$:

scrivo la matrice dei coefficienti: [A] = $[[1,i,1],[0,\mu,i],[\lambda,-2i\mu,2]]$ e intervengo sull'ultima riga sottraendone la prima riga moltiplicata per $-\lambda$ ( per intenderci $III-\lambdaI$ ) in modo da azzerare il primo termine.

La terza riga sarà quindi $[0,-2i\mu-\lambdai,2-\lambda]$.

Moltiplicando per -1 e raccogliendo i nel secondo termine $[0,i(2\mu+\lambda),\lambda-2]$.

Ora, si nota che per $\lambda=2, \mu=-1$ la terza riga diventa $[0,0,0]$ e di conseguenza il rango di [A] è 2, diverso da 3 che è il valore minimo fra le m righe e le n colonne dei vettori v1,v2,v3.
Quindi la soluzione al primo punto è $AA\lambdainbbb{C}-{2}vvAA\muinbbb{C}-{-1}$

Domanda: è corretto procedere in questo modo, ovvero trovare il valore dei coefficienti che azzerano una riga della matrice [A]? Ho dimenticato/sbagliato qualcosa?

Punto 2: i vettori sono linearmente indipendenti

Va da sè che per i due valori trovati al punto 1 la matrice completa $[[1,i,1],[0,\mu,i],[0,i(2\mu+\lambda),\lambda-2]]|(0),(0),(0)|$
avrà la terza riga composta solo da zeri per cui i vettori non sono linearmente indipendenti (sono linearmente dipendenti da un parametro qualsiasi).

Provando a ridurre la matrice a gradini col metodo di Gauss:
$III-i(2\mu+\lambda)II$: $[[1,i,1],[0,\mu,i],[0,0,frac{\lambda(\mu+1)}\mu]]|(0),(0),(0)|$
se vogliamo procedere dobbiamo porre anche $\lambda!=0$ e $\mu!=0$ per evitare che si azzeri il denominatore e il numeratore (situazione di tutta la terza riga di zeri). (è giusto come ragionamento??? )

poste queste condizioni procediamo nella riduzione

$II*\1/\mu$: $[[1,i,1],[0,1,i/\mu],[0,0,frac{\lambda(\mu+1)}\mu]]|(0),(0),(0)|$


$III*\mu/(\lambda*(\mu+1))$: $[[1,i,1],[0,1,i/\mu],[0,0,1]]|(0),(0),(0)|$ (dove le condizioni $\lambda!=0, \mu!={-1, 0}$ erano già state poste in precedenza)

procedendo nella riduzione e omettendo i passaggi per brevità si giunge alla matrice completa a gradini $[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]|(0),(0),(0)|$

che conferma l'indipendenza lineare dei vettori per i parametri $ AA\lambdainbbb{C}-{0,2}vvAA\muinbbb{C}-{-1,0} $

a questo punto l'esercizio sembra finito ma è corretto come ragionamento? ci sarebbe un modo meno macchinoso per risolvere l'esercizio?

Grazie infinite per qualsiasi aiuto e/o parere sulla questione e scusate per il post molto prolisso.

[dissonance]

Io metterei i vettori sulle righe, anziché sulle colonne (anche se non è sbagliato metterli in colonna, alla fine si ottiene lo stesso risultato, ma è un teorema non banale che dice "il rango per righe è uguale al rango per colonne"). Dopodiché troverei una forma a scalini, con operazioni sulle righe (oppure metterei i vettori sulle colonne e farei operazioni sulle colonne). I valori dei parametri per cui ci sono tutti i pivot (pivot = elemento di testa non nullo) sono quelli per cui il sistema è linearmente indipendente ed è una base di \(\mathbb C^3\).

Il concetto è che le operazioni che tu fai corrispondono a prendere combinazioni lineari dei vettori dati. Questo non cambia nessuna informazione riguardante la dipendenza lineare e l'essere o meno una base di \(\mathbb C^3\). Se metti i vettori sulle righe e con operazioni sulle righe arrivi a trovare una linea nulla, questo significa che quella linea è combinazione lineare delle altre e quindi il sistema assegnato è linearmente dipendente. Altrimenti è linearmente indipendente.

[j.a.c.k.]

Innanzitutto grazie della risposta!
Ho imparato una cosa nuova (il fatto che la matrice dei vettori si può scrivere anche per righe e non solo per colonne) e, come mi hai suggerito di fare, ho messo i vettori sulle righe invece che sulle colonn.
La matrice $ [[1,0,\lambda],[i,\mu,-2i\mu],[1,i,2]] $ si riduce lo stesso a quella con 3 pivot non nulli con le stesse condizioni su $\lambda$ e $\mu$.
$ AA\lambdainbbb{C}-{0,2}vvAA\muinbbb{C}-{-1,0} $
Quindi ne deduco che per queste condizioni il sistema è linearmente indipendente.

Ora, sono arrivato alla stessa conclusione usando lo stesso metodo (Gauss, riduzione a gradini della matrice) con una matrice "diversa", ma ho ancora dei dubbi.
Ammesso che le condizioni di cui sopra siano esatte, la mia domanda era più rivolta alla correttezza del metodo utilizzato per trovare condizioni per cui il sistema è l.i. ovvero:
è giusto escludere dalle soluzioni i valori di $\lambda$ e $\mu$ che pongono a zero una riga della matrice o esiste un altro metodo "più ortodosso"?

[dissonance]

Perché non ti sembra ortodosso? A me sembra così standard. Ho scritto nel post precedente la giustificazione di questo metodo, non ti convince?

[j.a.c.k.]

Mi convince il metodo, mi stavo solo chiedendo se ne esisteva un altro!
In ogni caso grazie per aver risposto!