Limite destro e sinistro calcolo?

Messaggioda Bertucciamaldestra » 26/05/2017, 09:06

Ciao a tutti! :)
Scusate la domanda strana ma per calcolare il limite destro e sinistro di, ad esempio

$lim_(xto-oo) e^(1/(x+1))$ oppure $lim_(xto-1^+) e^(1/(x+1))$

l'unica soluzione è quella di costruirsi il grafico calcolando zeri e segni della funzione?
Per calcolare il limite destro o sinistro di una funzione devo per forza conoscerne il grafico?
Ultima modifica di Bertucciamaldestra il 26/05/2017, 11:47, modificato 1 volta in totale.
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Re: Limite destro e sinistro calcolo?

Messaggioda feddy » 26/05/2017, 10:14

Non necessariamente.

Nel primo, quando la $x$ assume valori sempre più piccoli, hai che la frazione tende a $0$, perciò il limite vale $1$.

Nel secondo, quando la $x$ si avvicina a $-1$ da destra, allora il denominatore tende a $0^{+}$, e pertanto la funzione tende a $+\infty$.
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Re: Limite destro e sinistro calcolo?

Messaggioda Bertucciamaldestra » 26/05/2017, 11:54

feddy ha scritto:Non necessariamente.

Nel primo, quando la $x$ assume valori sempre più piccoli, hai che la frazione tende a $0$, perciò il limite vale $1$.

Nel secondo, quando la $x$ si avvicina a $-1$ da destra, allora il denominatore tende a $0^{+}$, e pertanto la funzione tende a $+\infty$.


Grazie mille per la risposta! Effettivamente il metodo di risoluzione più veloce nel mio esempio è il semplice ragionamento :-D ma qui c'è la fortuna che conoscendo a memoria il comportamento di $e^x$ ne deduci automaticamente il risultato dei limiti anche se qui abbiamo $e^g(x)$.
La mia domanda è in generale se mi trovo a dover calcolare una funzione "strana" che non conosco o ad esempio un $arccos(g(x))$ di cui non ricordo il grafico a memoria, non ho un metodo più veloce per capire limite destro e sinistro? :(
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Re: Limite destro e sinistro calcolo?

Messaggioda feddy » 26/05/2017, 12:37

Chiaro, devi sempre conoscere il dominio della tua funzione. Ma, appunto, talvolta è molto difficile avere in testa il grafico della funzione, come per esempio con composizioni di funzioni ecc... in generale si cerca di capire cosa fa la funzione avendo in testa delle informazioni tipo dominio, eventuale, crescenza, decrescenza, e soprattutto tecniche "algebriche" per il calcolo dei limiti, come confronti fra infinitesimi, limiti notevoli, sviluppi di Taylor, regola di De l'Hopital.
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Re: Limite destro e sinistro calcolo?

Messaggioda Magma » 26/05/2017, 14:58

Ciao :-D !

Dato il limite
$lim_(xto-1^+) e^(1/(x+1)) hArr e^(lim_(xto-1^+) (1/(x+1)))$


Quindi occorre studiare il $lim_(xto-1^+) f(x)$, dove $f(x)= 1/(x+1)$.

Il dominio $D_f=(-oo,-1)uu(-1,+oo)$

Operando un cambiamento di variabili

$t=x+1$


Inoltre

se $x->-1^+ rArr t->0^+$.1


Pertanto

$lim_(t->0^+) 1/t=+oo$


Ed infine
$lim_(s->+oo) e^s=+oo$

Note

  1. Il comportamento di $t$, dipendente da $x$, lo si deduce dal grafico della retta $x+1$.
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