[Termodinamica] Equilibrio LLV (calcolo)

[mdonatie]

Ho il seguente problema:
Calcolare la temperatura di inizio condensazione di una miscela bicomponente composta dal 10% del componente 1 e 90% di 2.
La pressione del sistema è di $0.2 atm$
e si hanno le seguenti relazioni di Antoine:
$lnp_(s1)=16,678-(3857,52)/(T-132,15)$
$lnp_(s2)=15,6782-(2154,9)/(T-104,42)$
con $[T : K , p_s:mmHg]$
ipotizzando sia valido il modello di Van Laar, si hanno le seguenti costanti di attività:
$A_(12)=5630,5/(T)-13,29$
$A_(21)=6410/T-18,259$
Sappiamo anche che a tale pressione è presente un eteroazeotropo con le seguenti caratteristiche:
$x_1^a=0,01$ , $x_1^b=0,93$ , $y_(1az)=0,16$ , $T=28°C=301,15K$

Il mio ragionamento è il seguente:
Determino le temperature di equilibrio liquido-vapore dei componenti puri attraverso le relazioni di Antoine:
$T_1^°=463,15K=190°C$ e $T_2^°=306,68K=33,53°C$
in base ai dati del sistema ipotizzo che il sistema sia completamente immiscibile, così da poter determinare un valore della temperatura di inizio condensazione di riferimento.
Le condizioni di equilibrio in questo caso si semplificano:
${(y_1P=p_(s1)(T)),(y_2P=p_(s2)(T)):}$
Poiché la composizione della miscela $0<y_1<y_(1az)$ allora posso imporre la condizione di equilibrio
$y_2P=p_(s2)(T)$
Da questa condizione posso ricavarmi la $T_(IB)=304,7K=31,55°C$ che rispetta la condizione di forte non idealità per la miscela.

Ora abbandonando l'ipotesi di completa immiscibilità impongo nuovamente le condizioni di equilibrio in caso di parziale miscibilità:
${(y_1P=x_1^a\gamma_1^ap_(s1)),(y_2P=x_2^a\gamma_2^ap_(s2)),(x_1^a\gamma_1^a=x_1^b\gamma_1^b):}$
combinando la prima equazione con la seconda:
${(y_1/y_2=(x_1^a\gamma_1^ap_(s1))/(x_2^a\gamma_2^ap_(s2))),(x_1^a\gamma_1^a=x_1^b\gamma_1^b):}$
quindi posso esprimere i coefficienti di attività attraverso il modello di Van Laar:
${(\gamma_1^a=exp(A_(12)/((1+(x_1^aA_(12))/((1-x_1^a)A_(21)))^2))),(\gamma_2^a=exp(A_(21)/((1+((1-x_1^a)A_(21))/(x_1^aA_(12)))^2))),(\gamma_1^b=exp(A_(12)/((1+(0,93*A_(12))/((1-0,93)A_(21)))^2))):}$

Il problema si presenta ora, non riesco a trovare un metodo per affrontare il calcolo di questa equazione non lineare, ho provato un approccio con Newton, però risulta un po' troppo difficile.
Mi chiedevo se qualcuno sapesse come procedere oppure se qualcuno conoscesse un ulteriore strada.
Grazie