Derivazione di una distribuzione regolare

[Rino95]

Salve, la mia domanda è: data una distribuzione regolare \(T_{f}\) associata alla funzione \( f : \mathbb{R} / \{ x_{0} \} \longrightarrow \mathbb{R} \) , è possibile calcolare la sua derivata \( T'_{f} \)?
In tutti gli appunti che ho trovato sull'argomento partono dal fatto che la \( f \) deve essere una funzione definita in tutto \( \mathbb{R} \), e ivi localmente sommabile.
Ad esempio, in un esercizio mi si richiede di calcolare la derivata della distribuzione regolare associata alla funzione \( f(x) = arctg ( \frac{1}{x-1} ) \), che evidentemente è del tipo \( f: \mathbb{R} / \{ 1 \} \longrightarrow \mathbb{R} \) e quindi \( f \not\in C( \mathbb{R} ) \). Mi da come soluzione che \( T'_{f} = T_{\frac{1}{(x-1)^{2} + 1}} + \pi \delta _{1} \), e il che è concettualmente intuibile visto che in 1 la funzione non è derivabile e che \( f(1^{-}) = - \frac{\pi}{2}\) , \(f(1^{+}) = \frac{\pi}{2} \)... ma il fatto è che in 1, la f non è neanche definita!
Quindi è sufficiente che la funzione abbia un numero finito di punti di non derivabilità anche se su quei punti non è definita?

[gugo82]

Il libro di teoria che dice a riguardo?

[Rino95]

Che la funzione dev'essere \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \)

[gugo82]

Che libri usi?

[Rino95]

Gli appunti scritti dai professori DISMA del politecnico di Torino, accessibili liberamente su internet da chiunque.

http://calvino.polito.it/~tabacco/complessa/cap4.pdf

Se vai alla pagina 15 di questo pdf, al punto "Proposizione 4.18", troverai la definizione di derivazione di una distribuzione regolare. A pagina 38, ci sono le soluzioni dei relativi esercizi proposti in questo documento e, in particolare, quello che ho postato in questo argomento fa riferimento al 6° punto dell'esercizio numero 4.10, sempre dello stesso pdf.

Visto che nella definizione di derivata di una distribuzione regolare è richiesto che la funzione deve essere del tipo \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \), mentre \( f(x) = arctg ( \frac{1}{x-1} ) \) è, evidentemente, del tipo \( f: \mathbb{R} / \{ 1 \} \longrightarrow \mathbb{R} \), come mai la soluzione dell'esercizio considera la funzione \( f(x) = arctg ( \frac{1}{x-1} ) \), nel punto \( x = 1 \), come se avesse un semplice punto di discontinuità di tipo salto, quando invece in tale punto essa NON è proprio definita?

[gugo82]

Vabbè ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua.
Ricorda che una distribuzione $F$ è detta regolare se esiste un'unica funzione $f in L_("loc")^1(RR)$ tale che:
\[
\langle F, \phi\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\phi(x)\ \text{d} x
\]
per ogni test $phi$.
Dato che le funzioni localmente sommabili non sono tenute ad essere definite ovunque (ma solo quasi ovunque), è evidente che la condizione $"Dom" f=RR$ è restrittiva. In generale, il dominio di un rappresentante coincide con $RR$ privato​ di un insieme di misura nulla.

[Rino95]

Perfetto, allora applico la regola di derivazione a cuor leggero nel momento in cui f è semplicemente localmente sommabile su R, e non per forza definita su tutto R. Guardando il risultato però c'è una cosa che non mi quadra:
se la derivata di \( f(x) = arctg(\frac{1}{x-1}) \) è \( f'(x) = \frac{1}{1+(\frac{1}{x-1})^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + (x-1)^{2}} \),
Perché il risultato corretto è \( (T_{f})' = T_{\frac{-1}{1+(x-1)^2}} + \pi \delta _{1} \)
anziché
\( (T_{f})' = T_{1 - \frac{1}{1+(x-1)^2} } + \pi \delta _{1} = T_{1} + T_{\frac{-1}{1+(x-1)^2}} + \pi \delta _{1} \) ?
Per quale motivo la \( T_{1} \) non compare nel risultato?