media variabile aleatoria gamma

[JustDipax1997]

Salve ho un problema nello svolgere l'integrale per calcolare la media di una variabile aleatoria continua Gamma.

Per calcolare il valore atteso ( momento di ordine r=1) so che devo fare l'integrale da 0 a + infinito della mia densità continua il tutto moltiplcato per x.

$ int_0^inftyxlambda^v/(T(v))x^(v-1)e^(-lambdax)dx $

ora svolgendo i calcoli e portando fuori le costanti ottengo


$ lambda^v/(T(v))int_0^inftyx^ve^(-lambdax)dx $

da questo momento non riesco più a procedere so che alla fine il valore attesso di una gamma deve essere
$ v/lambda $

ma non riesco a ricavarmelo.

{con T(v) io indico la gamma di Eulero}

[tommik]

è molto semplice:


$E[X]=int_(0)^(oo)theta^n/(Gamma(n))x^n e^(-xtheta)dx=n/thetaint_(0)^(oo)theta^(n+1)/(nGamma(n))x^((n+1)-1) e^(-xtheta)dx=$

$=n/thetaint_(0)^(oo)theta^(n+1)/(Gamma(n+1))x^((n+1)-1) e^(-xtheta)dx=n/theta$


ora prova tu, con lo stesso metodo,

1) a calcolare la varianza della medesima distribuzione.

2) a calcolare media e varianza della variabile $Y=1/X$ che è una Gamma inversa

aspetto progressi....

[JustDipax1997]

è molto semplice:


$E[X]=int_(0)^(oo)theta^n/(Gamma(n))x^n e^(-xtheta)dx=n/thetaint_(0)^(oo)theta^(n+1)/(nGamma(n))x^((n+1)-1) e^(-xtheta)dx=$

$=n/thetaint_(0)^(oo)theta^(n+1)/(Gamma(n+1))x^((n+1)-1) e^(-xtheta)dx=n/theta$


ora prova tu, con lo stesso metodo, a calcolare la varianza della medesima distribuzione

aspetto progressi....

ti ringrazio subito della risposta esaustiva.. finalmente l'ho capita.

Infatti mi sono subito messo a calcolare il momento secondo per poi ricavarmi la varianza. Ho seguito lo stesso ragionamento che hai formulato tu ma con poco successo perché alla fine la varianza mi viene 0.. Ho pensato:

$ M2=int_0^inftyx^2theta^n/(Gamma(n))x^(n-1)e^(-thetax)dx $

$ 1/(theta^2)int_0^inftytheta^(n+2)/(Gamma(n))x^((n+2)-1)e^(-thetax)dx $

e poi al passaggio successivo(sul quale ho più dubbi) ho fatto:

$ n^2/(theta^2)int_0^inftytheta^(n+2)/(Gamma(n+2))x^((n+2)-1)e^(-thetax)dx $
$ M2=n^2/(theta^2) $

quando vado a fare $ V[X]=EX^2-(EX)^2=0 $ invece che $ V[X]=n/(theta^2) $


Avevo anche pensato di svolgerlo in un altra maniera dato che non mi veniva... $ int_0^inftyxtheta^n/(Gamma(n))x^n e^(-thetax)dx -> int_0^infty(x+1)theta^n/(Gamma(n))x^n e^(-thetax)dx+ $
$ +int_0^inftytheta^n/(Gamma(n))x^n e^(-thetax)dx $

in modo tale che il secondo integrale mi riforniva la media di X ossia $ n/theta $

il problema è che poi non riesco a giocare sul primo itegrale e a ricavarmi una soluzione...

[tommik]

$Gamma (n+2)=(n+1)nGamma (n) $

Riprova e vedrai che ce la fai...

[JustDipax1997]

$Gamma (n+2)=(n+1)nGamma (n) $

Riprova e vedrai che ce la fai...

Si ci sono riuscito a calcolare la varianza!!

$ V[X]=(n^2+n)/theta^2 - n^2/theta^2 = n/theta^2 $

Cavolo lo sapevo che avevo sbagliato la funzione Gamma di Eulero perché ce l'hanno spiegata in maniera molto approssimativa...

Infatti ho provato a svolgere la media del secondo esercizio(gamma inversa) che mi hai proposto ed il problema rimane sempre la funzione Gamma che non so gestirla...

$ E[1/X]=int_0^infty1/x theta^n/(Gamma(n))x^(n-1)e^(-thetax) dx $

$ thetaint_0^inftytheta^(n-1)/(Gamma(n-1)) x^((n-1)-1) e^(-thetax) dx $

infatti a questo punto non so come si fattorizza questa $ Gamma(n-1)= $

Cioè io so che la gamma di eulero per definizione vale :

$ Gamma(z)=int_0^inftyu^(z-1 )e^-u du $

e che se $ z in N $ allora $ Gamma(z)=(z-1)! $

però negli esercizi non riesco proprio ad applicarla come hai fatto tu... per caso esiste un'altra regola più immediata?

[tommik]

E' solo questione di fare un po' di esercizio....anche qui hai fatto un errorino e sempre sulla Gamma di Eulero...basta infatti ricordare che $Gamma(n)=(n-1)Gamma(n-1)$ che subito trovi

$E[1/X]=int_(0)^(oo)1/x theta^n/(Gamma(n)) x^(n-1)e^(-xtheta)dx=theta/(n-1)int_(0)^(oo)theta^(n-1)/(Gamma(n-1)) x^((n-1)-1)e^(-xtheta)dx=theta/(n-1)$

tutto qui.

Prima di tutto guardi quanto è l'esponente della variabile scritto $x^(k-1) $ e poi raccogli opportunamente $theta $ e $n (n-1)... $ in modo da avere come integrale il nucleo di una gamma.

Per la gamma di Eulero puoi guardare dovunque, anche su Wikipedia. Dato che $Gamma (n)=(n-1)!$ significa che per valori interi può essere calcolata in modo ricorsivo.