Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Vulplasir » 19/06/2017, 21:03

Non esiste una definizione di accelerazione centripeta media, quindi è impossibile sapere cosa chiede il testo (a parte il fatto che molto probabilmente hai capito male il testo e non chiede niente che abbia a che fare con una presunta accelerazione centripeta media), ovviamente, dato che non esiste, ci si può sbizzarrire a darne una definizione...volendo puoi definirla come la velocità media al quadrato fratto il raggio di curvatura medio, e ovviamente neanche il raggio di curvatura medio di una curva esiste, quindi ci si può ancora sbizzarrire a darne una definizione...potrebbe per esempio essere la media aritmetica tra il raggio massimo e quello minimo...insomma è tutto un potrebbe
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 19/06/2017, 21:08

Vulplasir ha scritto:potrebbe per esempio essere la media aritmetica tra il raggio massimo e quello minimo...insomma è tutto un potrebbe


Intendi il raggio di curvatura massimo e raggio di curvatura minimo? Cioè, rispettivamente, il raggio del cerchio osculatore nel punto di minima curvatura, ed il raggio del cerchio osculatore nel punto di massima curvatura?
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Vulplasir » 19/06/2017, 21:29

Si, il raggio di curvatura massimo e minimo
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Shackle » 19/06/2017, 23:44

Considera un'ellisse di asse maggiore $2a$ , disposto sull'asse $x$ , e asse minore $2b$ disposto sull'asse $y$ , come normalmente si fa nella rappresentazione canonica. L'equazione canonica dell'ellisse ti è nota, suppongo.
Con centro nell'origine, traccia due circonferenze concentriche, di raggi risp. $a$ e $b$ . Traccia poi una semiretta uscente da $O$ , che incontra la circonferenza di raggio $b$ nel punto $C$ ,e la circonferenza di raggio $a$ nel punto $B$ (vedi figura seguente)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine
Click sull'immagine per visualizzare l'originale


L'angolo che la semiretta forma con l'asse $x$ si chiama "angolo di eccentricità" $t$ . In funzione di questo angolo , si possono esprimere le coordinate del punto $P$ :

$x = a cost $
$y = bsent $

e queste non sono altro che le equazioni parametriche dell'ellisse, con parametro $t$ . Nota esplicitamente che l'angolo $t$ non è uguale all'angolo polare $\theta$ .

Il raggio di curvatura $R$ , nel punto $P$ generico , si trova coi metodi della geometria differenziale , e risulta , in funzione del parametro $t$ :

$R = ((a^2sen^2t + b^2cos^2t)^(3/2) )/(ab) $

i raggi di curvatura minimo e massimo si hanno ovviamente in corrispondenza degli estremi dei semiassi dell'ellisse , e risulta :

per $t =0 : R_(min) = b^2/a$
per $t= \pi/2 : R_(max) = a^2/b $

Supponiamo ora che un punto materiale percorra l'ellisse a partire dal punto $A$ in figura; il parametro $t$ sia ora il tempo .
Il vettore velocità è in ciascun punto tangente alla conica , e le sue componenti cartesiane si determinano derivando rispetto al tempo le equazioni parametriche dette cioè :

$v_x = dotx = -a\sent$
$v_y = doty = b\cost$

quindi , come vettore : $ vecv = -asenthati + bcosthatj $ . Il modulo è ovvio.

Analogamente , si possono trovare le componenti cartesiane dell'accelerazione :

$a_x =ddotx = -acost = -x$
$a_y = ddoty = -bsent = - y$

e quindi si può scrivere il vettore $veca$ e calcolarne il modulo. Ma è più interessante scrivere l'accelerazione come somma vettoriale dell'accelerazione tangenziale e di quella centripeta :

$ veca = veca_t + veca_n = dotvhatT + v^2/RhatN$

siccome tutti gli elementi necessari , in un dato punto, sono noti o calcolabili , il calcolo dell'accelerazione centripeta non presenta difficoltà , se non di calcolo.

Ciò detto, perchè parli di "accelerazione centripeta media" ? Ti hanno già fatto notare che l'accelerazione è funzione del punto, quindi qual è lo scopo della richiesta ?

PS : ho trovato spiegazioni, figure ed animazioni molto belle del prof. Lorenzo Roi :

http://www.lorenzoroi.net/geomDiff/index.html

http://matematica.unibocconi.it/articol ... onda-parte

le figure animate, disegnate con Geogebra, contengono uno slider : cliccando sul segno + alla fine dello slider, si vede come cambia la figura stessa .
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 20/06/2017, 09:30

Shackle ti ringrazio molto per l'impegno profuso, si vede che, oltre ad essere molto preparato, sei anche molto appassionato della materia, e ringrazio anche Vulplasir e mgrau.

Forse non sono stato chiarissimo.

E' possibile definire il concetto di curvatura media di una curva?

Ho trovato questo link, dove dice che si può fare

http://www2.unipr.it/~basgio93/2004/XII/index.htm

Immagine
Click sull'immagine per visualizzare l'originale


La curva C dice che è più curva di C1, anche se sembra controintuitivo, ma in effetti è così, perché la curva C è tutta curva, mentre la curva C1 tende ad essere una retta agli estremi.

Il sito continua dicendo che la curvatura media è data dall'angolo formato dalle due rette tangenti in A e B, fratto la lunghezza dell'arco, e siccome la curva C è più breve della curva C1, la sua curvatura media è maggiore della curva C1.

Immagine
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Quindi, se si riuscisse a calcolare la curvatura media dell'ellisse, si potrebbe calcolare anche il raggio di curvatura medio dell'ellisse, che, come noto, è il reciproco della curvatura (1/K).

Una volta ottenuto il raggio di curvatura medio dell'ellisse, potrei calcolare l'accelerazione centripeta media, mettendo nella formula dell'accelerazione centripeta il raggio di curvatura medio.

Sarebbe corretto?

Poi ho trovato anche questo teorema geometrico:

https://books.google.it/books?id=LmdBAA ... te&f=false

Qui c'è scritto che “Il raggio curvatura dell'ellisse è uguale al cubo della normale corrispondente diviso per la quarta parte del quadrato del parametro”.

E' possibile calcolare la raggio di curvatura dell'intera ellisse in questo modo diciamo geometrico?

Grazie.
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda mgrau » 20/06/2017, 09:54

milzar ha scritto:
Il sito continua dicendo che la curvatura media è data dall'angolo formato dalle due rette tangenti in A e B, fratto la lunghezza dell'arco, e siccome la curva C è più breve della curva C1, la sua curvatura media è maggiore della curva C1.


Si tratta evidentemente di una definizione arbitraria, e se ne potrebbero inventare altre a piacere.
Con ciò non voglio dire che questa definizione non abbia una sua diffusione, magari in un qualche contesto particolare (mi viene in mente, nella costruzione di strade?)
Comunque nel caso di una curva chiusa non è applicabile, visto che non ci sono gli estremi dove prendere le tangenti
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Shackle » 20/06/2017, 10:47

Scusami, oggi sono fuori casa , non posso leggere e scrivere. Stasera leggerò . Nel frattempo, mgrau ha gia risposto, e chissà che non lo faccia anche vulplasir, loro sono più freschi .

A prima vista , sembra che il primo link faccia riferimento a proprietà globali di una curva aperta, non locali .

Ciao
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 20/06/2017, 14:39

Il link è esplicito, parla di curvatura media, non so però se è corretto dividere l'angolo formato tra le due tangenti per la lunghezza dell'arco.

Se fosse corretto, si potrebbe dividere l'ellisse in quattro archi uguali, i cui estremi coinciderebbero con i punti di intersezione tra assi e ellisse (i 4 punti cardinali dell'ellisse per intenderci).

Questi 4 archi ovviamente avrebbero la stessa curvatura e la stessa lunghezza, in virtù della simmetria dell'ellisse.

Si prende un solo arco, si tracciano le due tangenti passanti per i due punti estremi dell'arco, che formerebbero un angolo di 90 gradi, si calcola la lunghezza dell'arco, si mette in rapporto il primo con la seconda e si ottiene la curvatura media dell'ellisse, no?
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Shackle » 20/06/2017, 21:12

Sono riuscito a leggere il primo link . Io mi sbaglierò , ma c'è qualcosa che non mi torna . A proposito della figura 2 , da te evidenziata , dice appunto che :

.... la curvatura media è data dall'angolo formato dalle due rette tangenti in A e B, fratto la lunghezza dell'arco, e siccome la curva C è più breve della curva C1, la sua curvatura media è maggiore della curva C1.


mi pare assurdo ragionare in questi termini. La curvatura media, secondo quanto detto, sarebbe inversamente proporzionale alla lunghezza dell'arco di curva .
E se io unisco A a B , mediante un segmento di retta, appena raccordato ai due estremi con due archetti di circonferenza di raggio $0.5 cm$, tangenti in A e B agli assi tracciati, che succede ? Ho una "curva" mistilinea , il cui tratto più lungo è un segmento rettilineo , e i due tratti finali sono i due archetti circolari; si può calcolare esattamente la lunghezza della curva (non mi va di farlo, però ) . Chiaramente, la curvatura locale è nulla per un bel pezzo, tranne che agli estremi dove c'è l'archetto circolare . Siccome questa curva mistilinea ha lunghezza senz'altro inferiore a $C$ , dovrò dedurre che la curvatura media è maggiore di quella di $C$ , e di $C'$ ?
Mi sembra un po' assurdo. Ma bisognerebbe fare una dimostrazione matematica, non affidarsi all'intuito.

Ribadisco, come detto anche da altri , che la curvatura è un concetto locale .

Se poi vuoi calcolare una curvatura media lungo un arco, credo che ti debba affidare al "teorema della media" , che si studia nel calcolo integrale, e che non ricordo più .
Ciao.
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 20/06/2017, 23:12

No vedi che più avanti fa anche l'ipotesi del tratto mistilineo, una parabola il cui tratto apicale è una retta. Lo risolve in modo diverso e più complesso rispetto al metodo del rapporto tra l'angolo formato dalle due rette tangenti e la lunghezza dell'arco (ricorre ai limiti ecc...).

Grazie comunque.
milzar
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