Dubbio semplice base

[Salivo44]

Ciao a tutti! Ho un piccolo dubbio per quanto riguarda la definizione di base di uno spazio vettoriale :

L'esercizio mi chiede : in $R^3$, considerati i sistemi di vettori

$V_1 = { (0,1,0) , (0,0,1)}$ e $V_2 = {(1,1,0),(0,-2,3),(1,-2,3),(2,-4,6)$ determinare la dimensione ed una base

Ora per quanto riguarda il secondo si nota subito che l'ultimo vettore è combinazione lineare del terzo, dunque lo elimino e ottengo un sistema di vettori indipendente di dimensione 3 e con una generica base $h_1(...) + h_2(...) +h_3(...)$

Ma per il primo sistema $V_1$ non ho capito bene alcune cose :

I vettori che lo costituiscono sono linearmente indipendenti e sono un sistema di generatori di $R^3$ dunque sono una base. Ma la loro dimensione è $2$? (Perchè so che la dimensione è la cardinalità di una base) . Il punto è che ho trovato una definizione che dice : dato che $R^3$ ha dimensione 3 , se dimostro che all'interno dell'insieme ho lo stesso numero di vettori
della dimensione dello spazio vettoriale, allora per definizione sono una base. Ma di vettori ne ho 2,non 3..devo aggiungerne un altro?

[cooper]

attenzione che quello che tu hai è un sottoinsieme di $RR ^3$. quindi può essere che la dimensione di $V_1$ sia 2. altre osservazioni:
1. i vettori del primo sottospazio non possono generare $RR^3$ perchè ha meno vettori della dimensione di $RR^3$. in particolare vale il seguente

Teorema: presa una base di V spazio vettoriale formata da n vettori si ha che un qualunque sistema S con m<n vettori non può generare V

2.

I vettori che lo costituiscono sono linearmente indipendenti e sono un sistema di generatori di R3 dunque sono una base.

i due vettori non generano $RR^3$ alla luce anche del punto 1, ma generano $V_1$. essendo poi anche l.i. ne costituiscono perciò una base (di $V_1$)

[Salivo44]

Dunque $V_1$ non essendo un sistema di generatori di $R^3$, non ha una base e nemmeno una dimensione giusto?
Allo stesso modo ho quest'altro sottospazio : $V_3 : {(0,-2,2)}$, anche questo per quanto detto prima non lo è

[cooper]

Dunque V1 non essendo un sistema di generatori di R3, non ha una base e nemmeno una dimensione giusto?

ovviamente no. a parte il fatto che esiste un teorema che afferma che tutti gli spazi vettoriali hanno una base come è possibile che un sottospazio, che esiste, non abbia dimensione?
quello che ti ho detto è che dato che $V_1$ non ha almeno 3 vettori non può essere una base per $RR^3$.
i due vettori però costituiscono una base per $V_1$ stesso perchè lo generano e sono l.i.
mi sorge però un dubbio: la richiesta è "determinare quale di questi insiemi di vettori costituiscono una base di $RR^3$" oppure "considerati i sottospazi $V_1$ e $ V_2 $ generati da quei vettori, trovare una loro base e la loro dimensione" ?

Allo stesso modo ho quest'altro sottospazio : V3:{(0,−2,2)}, anche questo per quanto detto prima non lo è

dipende a questo punto dalla risposta alla domanda che ti ho fatto.
nel primo caso allora si non è una base di $RR^3$. nel secondo caso invece è base e il sottospazio $V_3$ ha dimensione 1.

[Salivo44]

mi sorge però un dubbio: la richiesta è "determinare quale di questi insiemi di vettori costituiscono una base di R3" oppure "considerati i sottospazi V1 e V2 generati da quei vettori, trovare una loro base e la loro dimensione" ?

E' questo il motivo per cui sono andato in tilt.. la consegna dell'esercizio non è chiara.
Il testo dice così : In $R^3$, considerati i sistemi di vettori $V_1 , V_2$ etc.. determinare la dimensione ed una base di $V_1, V_2$ etc.. personalmente non so

[cooper]

allora è la seconda ma non ci dicono che sono anche un sistema di generatori quindi devi verificarlo, oltre all'indipendenza lineare.

[Salivo44]

Perfetto, ti ringrazio molto!