Non avendo ricevuto risposta e non avendo trovato del materiale adatto, ho pensato di postare un esercizio d'esame provando a risolverlo quì, con la speranza che qualcuno possa controllare se affronto l'esercizio nel modo corretto.
$\sum_{n=0}^\infty ((x+3)^n)/(3^n (n+1))$ , $x in CC$
Come prima osservazione, posso affermare che si tratta di una serie di centro $x=-3$.
Studio il raggio di convergenza $R$:
$|a_n|= |1/(3^n (n+1))| = 1/(3^n|n+1|) = 1/(3^n sqrt(n^2+1))$
$\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|) = \lim_{n \to \infty}root(n)(1/(3^n sqrt(n^2+1))) = \lim_{n \to \infty}1/3 1/(n^2 +1)^(1/(2n)) = 1/3 $
Il raggio di convergenza $R=3$.
La serie converge puntualmente $AA x:|x+3|<3$
L'insieme di convergenza puntale è $[-3i,0)$
Per $x=0$ la serie diventa: $\sum_{n=0}^\infty (3^n)/(3^n (n+1)) = \sum_{n=0}^\infty 1/(n+1)$ che diverge a $+oo$
Per $x=-3i$ la serie diventa: $\sum_{n=0}^\infty ((-3i+3)^n)/(3^n (n+1))$
$i)$ $\lim_{n \to \infty}1/(3^n (n+1))=0$ ;
$ii)$ $1/(3^n (n+1)) >= 0 AA n in NN$ ;
$iii)$ $f(n)=1/(3^n (n+1)) => f'(n)=(-3n^(n-1) (n+1)-3^n)/(3^n(n+1))^2$ ;
Quindi per il criterio di Leibniz la serie converge in $x=-3i$
In conclusione posso affermare che l'insieme di convergenza puntale è $[-3i,0)$
e l'insieme di convergenza uniforme è $[-3i,k], AA -3i<=k<0$
E' corretto oppure ho combinato un disastro?
grazie ancora