Piccolo problema con esercizio

[Leibnitz]

Salve ragazzi, è il mio primo messaggio e volevo anzitutto complimentarmi per questo splendido forum.
Ho bisogno di un chiarimento, io e il libro siamo arrivati a due risultati diversi...

L'esercizio chiede di stabilire: per quali valori di h reale il vettore v=(1-h,h,1) appartiene al sottospazio generato da v1=(0,1,h) e v2=(h-1,2-h,1)

Io ho operato così: ho scritto il vettore v come c.l. degli altri due, cosi pongo che v si trovi nella loro copertura lineare:
$ (1-h,h,1)=a(0,1,h)+b(h-1,2-h,1) $

ottenendo il sistema ilneare:

$ { ( (h-1)b=1-h ),( a+(2-h)b=h ),( ha+b=1 ):} $

Adesso io ho pensato di discutere la compatibilità del sistema: se esso è compatibile allora v è soluzione del sistema, ovvero c.l. degli altri e quindi appartiene allo spazio da loro generato:

A= $ | ( 0 , h-1),( 1, 2-h),( h, 1) | $ |A|= $ h^2-2h+1 $ il determinante si annulla per a=1

Per $ a= 1 $ ---------
i ranghi di matrice incompleta e completa coincidono =1 $ ( ( 0, 0 ),( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) ; ( ( 0, 0 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
sistema compatibile v appartiene a L

Per $ a!= 1 $ ----------

$ | ( 0 , h-1 , 1-h ),( 1 , 2-h , h ),( h , 1 , 1 ) | $ con determinante identico a sopra

rangoA=2 rango a|B=3
sistema non compatibile v non appartiene

Il problema è che il libro sostiene che v appartiene sempre alla copertura generata da v1 e v2.
Dove avrei sbagliato?

[cooper]

ciao e ben iscritto/a.
mi piacerebbe sapere come hai calcolato il determinante di A dato che non è quadrata.

[Leibnitz]

grazie per la risposta e scusa se ti rispondo solo adesso.
Mio errore, su carta ho praticamente scritto solo la seconda e la terza riga, il determinante corrisponde a quello, non me ne sono proprio accorto (nemmeno mentre scrivevo sul sito poi...)
In ogni caso il problema rimane: i ranghi di matrice incompleta e completa non coincidono,il sistema non dovrebbe essere compatibile

[cooper]

assodato che non calcoli il determinante per matrici non quadrate ( ), a ben guardare anche io concordo con la tua soluzione. $v in <v_1,v_2> hArr h=1$
a questo punto o ci siamo fusi in due, o i vettori li hai copiati male o ha sbagliato il libro.

[Feliciano_Sagaio]

Se (1-h,h,1)=a(0, 1, h)+b(h-1,2-h,1) si vede subito che la prima componente torna se e solo se b=-1.
A quel punto la seconda componente ti impone a=2.
La terza componente diventa 2h-1=1 e questo avviene se e solo se h=1.

Del resto basta fare qualche tentativo, ad es. se h=0 si ottiene (1,0,1) , e i due vettori diventano (0,1,0) e (-1, 2,1).

avresti (1,0,1)=a(0,1,0)+b(-1,2,1) e ciò implica immediatamente b=-1. di conseguenza l'ultima coordinata della somma è -1 e non otterrai mai (1,0,1). Ergo la soluzione non può essere quella del libro.

[cooper]

Del resto basta fare qualche tentativo

direi che come strategia è ben poco praticabile: avresti infiniti valori del parametro che potresti tentare. perchè al posto di 0 allora non provi con $h=5$ oppure con $h=-2/7$?

[Feliciano_Sagaio]

Il problema è che il libro sostiene che v appartiene sempre alla copertura generata da v1 e v2.
Dove avrei sbagliato?

Del resto basta fare qualche tentativo, ad es. se h=0 si ottiene (1,0,1) , e i due vettori diventano (0,1,0) e (-1, 2,1).

avresti (1,0,1)=a(0,1,0)+b(-1,2,1) e ciò implica immediatamente b=-1. di conseguenza l'ultima coordinata della somma è -1 e non otterrai mai (1,0,1). Ergo la soluzione non può essere quella del libro.

Del resto basta fare qualche tentativo

direi che come strategia è ben poco praticabile: avresti infiniti valori del parametro che potresti tentare. perchè al posto di 0 allora non provi con $ h=5 $ oppure con $ h=-2/7 $?

Il tentativo era, ovviamente, un controesempio per la tesi del libro...non una dimostrazione, che ho comunque scritto sopra.

[cooper]

ah scusami ha molto più senso adesso! non avevo intuito.