[tex]\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]

[francicko]

Nel termine $(x+(pi)/2)$ posso sostituire $x=(pi)/2$ , ottenendo così $((pi)/2+(pi)/2)=pi $, invece il termine $(x-(pi)/2)$ che e' responsabile della forma indeterminata viene eliminato con la semplificazione, da qui si ottiene il valore del limite.
.

[Caterpillar]

Stavo svolgendo gli esercizi delle vecchie discussioni, quando mi sono accorto di non aver mai terminato questo esercizio, perciò eccomi qui.
Del messaggio

$sqrt(1-sin(x)) = sqrt(1-sin(t/2+pi/2)) = sqrt(1-sin(t/2)cos(pi/2)-cos(t/2)sin(pi/2)) = sqrt(1-cos(t/2))$

Il limite diventa

$\lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/t*1/(t+2pi)$

Adesso lo vedi?

non ho capito il passaggio $sqrt(1-sin(t/2)cos(pi/2)-cos(t/2)sin(pi/2)) = sqrt(1-cos(t/2))$

[Ziben]

Ciao,
semplicemente $cos(pi/2) = 0$ e $sin(pi/2)=1$

[Caterpillar]

Bene ora ho risolto! Per completezza allego lo svolgimento integrale dell'esercizio. Grazie ancora
\( \displaystyle \underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}} \) scomponiamo il denominatore \( \displaystyle 4x^{2}-\pi^{2}\Rightarrow4x^{2}=\pi^{2}\Rightarrow x^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{\pi^{2}}{4}}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{2} \)

poi per avere una forma più comoda da manipolare, cerchiamo di togliere il 2 al denominatore \( \displaystyle x=\pm\frac{\pi}{2}\Rightarrow2x=\pm\pi \)

quindi \( \displaystyle 4x^{2}-\pi^{2}=\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right) \)

quindi \( \displaystyle \underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{4x^{2}-\pi^{2}}=\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)} \)

facciamo un campo di variabile \( \displaystyle t=2x-\pi\qquad e\qquad x=\frac{t+\pi}{2} \)

quindi \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t+\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}\Rightarrow\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)} \)

applico la formula di addizione \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)} \)

ora dato che \( \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \) e \( \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \) allora \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\cos\left(\frac{t}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)} \)

applico lo sviluppo di Taylor del coseno \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(t\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi} \)

[Feliciano_Sagaio]

applico lo sviluppo di Taylor del coseno \( \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(t\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi} \)

quando semplifichi lo sviluppo di taylor dovresti avere $ root2(t^2)=|t| $ e questo implica che i due limiti, destro e sinistro, non coincidono, per cui il limite non esiste

[Caterpillar]

Giusto, ho ripassato bene la presenza di valori assoluti nel caso di elevazioni al quadrato e radici quadrate, infine ripassato la presenza di valori assoluti nei limiti. Riscrivo la procedura corretta



\( \displaystyle \underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}} \) scomponiamo il denominatore \( \displaystyle 4x^{2}-\pi^{2}\Rightarrow4x^{2}=\pi^{2}\Rightarrow x^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{\pi^{2}}{4}}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{2} \)

poi per avere una forma più comoda da manipolare, cerchiamo di togliere il 2 al denominatore \( \displaystyle x=\pm\frac{\pi}{2}\Rightarrow2x=\pm\pi \)

quindi \( \displaystyle 4x^{2}-\pi^{2}=\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right) \)

quindi \( \displaystyle \underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{4x^{2}-\pi^{2}}=\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)} \)

facciamo un campo di variabile \( \displaystyle t=2x-\pi\qquad e\qquad x=\frac{t+\pi}{2} \)

quindi \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t+\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}\Rightarrow\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)} \)

applico la formula di addizione \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)} \)

ora dato che \( \displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \) e \( \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \) allora \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\cos\left(\frac{t}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)} \)

applico lo sviluppo di Taylor del coseno \( \displaystyle \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{\left|t\right|}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)} \)
quindi eseguo i limiti destro e sinistro

\( \displaystyle \underset{t\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi} \)
e
\( \displaystyle \underset{t\rightarrow0^{-}}{\lim}\frac{\frac{-t}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0^{-}}{\lim}-\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=-\frac{1}{2\sqrt{8}\pi} \)

i risultati sono diversi quindi il limite non esiste