Condizione del II ordine con hessiano nullo

[mobley]

Premesso che ho trovato diverse discussioni sul forum, e premesso che ho capito il funzionamento del metodo, in quasi tutti gli esercizi che prevedono hessiano nullo e studio dell'incremento non riesco mai a giungere ad una conclusione.

Ho la funzione $ f(x,y)= 4/3x^3+2y^2-4x^2+4x $ e devo calcolare massimi, minimi e sella applicando la condizione del II ordine. Trovo che l'unico punto stazionario è $(1,0)$ e andando a svolgere l'hessiano la condizione è inconclusiva, per cui vado a studiare l'incremento: $ Deltaf(1,0)=f(1+h,0+k)-f(1,0)=4/3h^3+2k^2 $ .
Osservo che $2k^2>0 AA k in R$, ma non so cosa dire per $4/3h^3$.
Devo studiare separatamente per $h>0$ e $h<0$? Perché se fosse così avremmo rispettivamente un minimo locale stretto e un sella...

[anonymous_0b37e9]

... avremmo rispettivamente un minimo locale stretto e un sella ...

Veramente, si dice punto di sella proprio perché può godere di quelle proprietà. Insomma, se ti muovi parallelamente all'asse y "sembra" essere un minimo, se ti muovi parallelamente all'asse x "sembra" essere un punto di crescenza.

[mobley]

Quindi come dovrei concludere?

[anonymous_0b37e9]

Che si tratta di un punto di sella.

[mobley]

Ok quindi ogni volta che studio l'incremento, se il segno non è "univocamente certo" ma dipende dai valori che potrebbero essere assunti da $h$ e $k$, il punto corrispondente sarà sempre un sella. Giusto?

Porto un altro esempio come confronto. Data la funzione $ f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2 $ si hanno tre punti stazionari di cui solo $(0,0)$ rende la condizione del II inconclusiva. Studio l'incremento:

$ Deltaf(0,0)=f(0+h,0+k)-f(0,0)=2h^4+2k^4-h^2-k^2-2hk+4 $

Allora:
- $2h^4>0 AA h in R$
- $2k^4>0 AA k in R$
- $4>0$
- $-(h^2)<0 AA h in R$
- $-(k^2)<0 AA k in R$
- $2hk ><0$ a seconda dei valori assunti da $h$ e $k$

Siccome non abbiamo tutti valori $>0$ o tutti $<0$ il punto è un sella. Giusto?

[anonymous_0b37e9]

Veramente:

$Deltaf(0,0)=f(h,k)-f(0,0)=2(h^4+k^4)-(h+k)^2$

A questo punto, se mi muovo lungo l'asse x oppure lungo l'asse y:

$[k=0] rarr [Deltaf(0,0)=h^2(2h^2-1)] rarr [Deltaf(0,0) lt 0] ^^ [-sqrt2/2 lt h lt sqrt2/2]$

$[h=0] rarr [Deltaf(0,0)=k^2(2k^2-1)] rarr [Deltaf(0,0) lt 0] ^^ [-sqrt2/2 lt k lt sqrt2/2]$

visto che il segno della variazione deve essere valutato, rispettivamente, per piccoli valori di $|h|$ oppure di $|k|$.

Tuttavia, se mi muovo lungo la bisettrice del 2° e del 4° quadrante:

$[k=-h] rarr [Deltaf(0,0)=4h^4] rarr [Deltaf(0,0) gt 0]$

In definitiva, si tratta di un punto di sella.

Allora:
$2h^4>0 AA h in R$
$2k^4>0 AA k in R$
$4>0$
$-(h^2)<0 AA h in R$
$-(k^2)<0 AA k in R$
$2hk ><0$ a seconda dei valori assunti da $h$ e $k$
Siccome non abbiamo tutti valori $>0$ o tutti $<0$ il punto è un sella. Giusto?

Al netto della svista iniziale, per valutare correttamente il segno della variazione non basta mettersi nel caso in cui tutti i contributi della somma hanno lo stesso segno. Solo per fare un esempio, una somma può essere positiva anche se i suoi addendi non sono tutti positivi. Per facilitarsi il compito si operano delle opportune restrizioni. Ovviamente, è necessaria un po' di esperienza.

[mobley]

Esperienza che io non ho e che mi ha portato a scrivere un mucchio di sciocchezze D:

Comunque dovrei aver capito il procedimento:
A) scrivere la formula dell'incremento
B) operare delle "apposite" restrizioni per valutare l'effetto sull'incremento stesso

Avrei solo un paio di domande da farti:
1) Perché nel calcolo di $Deltaf(0,0)$ non hai considerato la costante $2$?
2) Come riesci ad ottenere, per $k=0$ e $h=0$, che $Deltaf(0,0)$ è negativo ($<0$)? Nel senso che, dato ad es. $ Deltaf(0,0)=h^2(2h^2-1) $, io ho:

$h^2>0 AA in R$
$ 2h^2-1>0->h^2>1/2->h>+- 1/2 $ da cui $ h>root()(2)/2 uu h<-root()(2)/2 $

per cui $h$ è positivo nell'intervallo compreso tra $-root()(2)/2$ e $root()(2)/2$ e negativo altrove.

Questo non dovrebbe portarmi a dire che, per $h$ compreso in tale intervallo, $Deltaf(0,0)>0$ e quindi $(0,0)$ è un massimo locale (dato che abbiamo un primo segno positivo ($h^2$) e un secondo segno positivo (i punti nell'intervallo))? Viceversa, per $h$ esterno all'intervallo, non dovrei concludere che il punto è un sella (dato che abbiamo un segno positivo ($h^2$) e uno negativo (i punti fuori dall'intervallo))?
E lo stesso dicasi per $k$...

3) Quali restrizioni mi consigli di usare solitamente? Oltre quelle che mi hai indicato naturalmente.

Scusa le tante domande o eventuali altre "castronerie", sto sforzandomi di capire il metodo

[anonymous_0b37e9]

Perché nel calcolo di $Deltaf(0,0)$ non hai considerato la costante $2$?

In che senso? Nel calcolare:

$Deltaf(0,0)=f(h,k)-f(0,0)$

si deve sottrarre $[f(0,0)=2]$. Proprio per questo motivo:

$Deltaf(0,0)=2(h^4+k^4)-(h+k)^2$

... per cui $h$ è positivo nell'intervallo compreso tra $-root()(2)/2$ e $root()(2)/2$ ...

Impossibile aiutarti se, esponendo i tuoi dubbi, scrivi una frase come quella che ho appena riportato.

[mobley]

Uff...è la stanchezza da troppo studio...

Comunque sei stato chiarissimo Sergeant Elias, grazie mille davvero!