Necessità di $i^2=-1$?

[luca69]

Buongiorno a tutti,

fino al punto in cui portano i passi 1)÷13) seguenti, non riesco a dimostrare la necessità della definizione usuale di moltiplicazione tra coppie di numeri reali, secondo cui dovrebbe essere $α=-1$ e $β=0$ (v. punto 5)). Mi sembra, cioè, che tutto "funzioni bene" anche con la definizione più generale al punto 5), purché valga il vincolo (#) in 8), e "modulo" e "coniugato" siano definiti come in 9) e 10), rispettivamente. Ammesso (e non concesso...) che non vi siano errori in quanto segue, vorrei capire se la condizione $α=-1$ e $β=0$ è realmente necessaria (per ragioni quindi "successive al punto 13)") o è semplicemente la scelta più semplice tra le infinite ammesse dal vincolo (#) in 8).

Grazie e un saluto a tutti
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1) Si definisce l’addizione $+$ tra coppie di reali nel modo usuale
2) Si verifica che $(RR^2,+)$ è gruppo commutativo con elemento neutro $0:=(0,0)$
3) Si definisce la moltiplicazione per scalari $*$
4) Si verifica che $(RR^2,+)$ è spazio vettoriale su $RR$ e ${1,i}$ una sua base, e che quindi un qualsiasi elemento $z∈(RR^2,+)$ si può scrivere nella forma $z=x*1+y*i$
5) Si definisce la moltiplicazione interna $xx$ richiedendo che:
-) essa sia distributiva rispetto a $+$ e bilineare
-) $1$ sia l’elemento neutro moltiplicativo
e ponendo senza limitazioni: $i×i=α*1+β*i$, per qualche $α,β∈RR$. In tal modo si perviene alla seguente definizione operativa della moltiplicazione cercata:
$× ∶ $($(x_1,y_1),(x_2,y_2)$)$↦(x_1,y_1 )×(x_2,y_2 ):=(x_1x_2+αy_1y_2,x_1 y_2+y_1x_2+βy_1y_2)$
6) Si verifica che $×$ è effettivamente distributiva rispetto a $+$ e bilineare, e che $1$ è elemento neutro
7) Si verifica che $×$ è, inoltre, associativa (e commutativa)
8) Si verifica che vale la legge di annullamento del prodotto se e solo se: $β^2+4α<0$ (#)
9) Si verifica che in presenza del vincolo (#), $|z|≔sqrt(x^2-αy^2+βxy)$ definisce una norma in $RR^2$
10) Si definisce il “coniugato” di $z=(x,y)$ l’elemento $bar(z)≔(x+βy,-y)$
11) Si verifica che, $∀z≠0$, l’(unico) inverso moltiplicativo è dato da: $z^(-1)=bar(z)/|z|^2$
12) Si verifica che valgono inoltre le seguenti:
a) $bar(bar(z)):=bar((bar(z)))=z$
b) $bar(z_1+z_2 )=bar(z_1 )+bar(z_2 )$
c) $bar(z_1×z_2 )=bar(z_1)×bar(z_2)$
d) $|bar(z)|=|z|$
e) $|z_1×z_2|=|z_1 ||z_2 |$
f) se $γ∈RR$, allora $bar(γz)=γbar(z)$
g) $bar(z^(-1))=bar(z)^(-1), ∀z≠0$
Quindi, $z$ è radice di un polinomio a coefficienti reali se e solo se $bar(z)$ lo è.
13) Si verifica che, in presenza del vincolo (#), l’equazione $z^2+w=0$ ha soluzioni in $(RR^2,+,×)$ qualsiasi sia il “termine noto” $w∈(RR^2,+,×)$
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[killing_buddha]

Sei familiare con la teoria di Galois?

[luca69]

...eh no, distante anni-luce

Le mie conoscenze matematiche risalgono al 1° biennio di Astronomia V.O. (ahimè oltre 25 anni fa...)

[feddy]

Chiedo scusa se mi intrometto, tuttavia sarei interessato pure io alla questione. E sì, teoria di galois l'ho data lo scorso semestre.

[Martino]

Non c'è necessità di scegliere $alpha = -1$, $beta = 0$, il punto è che se scegli $alpha$ e $beta$ qualsiasi soddisfacenti la condizione 8 (che è sostanzialmente equivalente ad assicurare che $i$ non sia reale se vale l'annullamento del prodotto, per esempio non si può avere $i^2=1$ altrimenti si avrebbe $i = pm 1$) allora ottieni una versione diversa dell'insieme dei numeri complessi, chiamiamola $CC(alpha,beta)$. Il punto è che qualsiasi campo costruito in questo modo sarà isomorfo al campo usuale $CC=CC(-1,0)$.

In parole semplici per esempio è come se anziché usare $i$ tu usassi $1+i$, diciamo $j = 1+i$, è chiaro che la regola del quadrato in questo caso è $j^2 = (1+i)^2 = 2i = -2+2(1+i) = -2+2j$ quindi ottieni il campo $CC(-2,2)$, che è ovviamente isomorfo (o se preferisci, "uguale") a $CC=CC(-1,0)$ perché il passaggio da $a+ib$ a $c+jd$ è una semplice manipolazione algebrica reversibile (un cambiamento di base!) e non altera le proprietà algebriche dell'insieme ($a+ib = a+(j-1)b = a-b+jb$ da cui $c=a-b$ e $d=b$). Insomma quando passi da una formulazione all'altra stai semplicemente cambiando base.

Per concludere la scelta $alpha=-1$, $beta=0$ è fatta per semplicità e non credo che la teoria di Galois c'entri particolarmente (basta sapere cosa vuol dire che due campi sono isomorfi).

[killing_buddha]

Rispondo prima a quello con cui posso usare i termini giusti allora: l'OP sta sostanzialmente dicendo questo: prendo un qualsiasi reale positivo, diciamo \(\alpha > 0\), e considero l'estensione \(\mathbb{R}(\alpha)\). Questa estensione è isomorfa a \(\mathbb{C}\) (ci sono mille modi di dimostrarlo: ragiona sul suo grado, trova un isomorfismo esplicito...

[killing_buddha]

Ah, ottimo, ha risposto già uno che sa più cose di me fate vobis

[luca69]

Grazie a tutti