Esercizio su di un limite

[AddUp]

Ciao a tutti

Il limite è il seguente

$ lim_(n -> +oo) (-1)^n (sin(3/n)[n-sqrt(n^2+7)])/ln(1+1/n) $

Vi spiego i passaggi che ho fatto, che credo essere giusti, prima di bloccarmi nel ragionamento.

Innanzitutto ho fatto il cambio di variabile $ t=1/n $, per poi sfruttare i limiti notevoli con le due uguaglianze asintotiche a numeratore e a denominatore della frazione. Raccogliendo poi un $ 1/t $ all'interno della parentesi, ottengo

$ lim_(t -> 0)3/t (-1)^(1/t)[1-sqrt(1+7t^2)] $

Sarebbe un limite equivalente che ottengo per uguaglianze asintotiche e qualche raccoglimento, se ho fatto bene i calcoli.

A questo punto non so più come muovermi... sia per la forma indeterminata $ +oo\cdot 0 $ che ottengo valutando l'espressione nel punto 0, sia perchè non so come gestire $ (-1)^(1/t) $, visto che è anch'essa una forma di indeterminazione.

Grazie

[Indrjo Dedej]

io ho fatto così. Per $n \to + infty$ ho
$sin (3/n)=3/n (1+o(1))$
$ln(1+1/n)=1/n (1+o(1))$
e facilmente ottengo che
$n-sqrt{n^2+7}=- 7/{n+sqrt{n^2+7}}$.
Quindi per $n \to + infty$
$(-1)^n (sin(3/n)[n-sqrt(n^2+7)])/ln(1+1/n)= (21(-1)^{n+1})/(n+sqrt{n^2+7}) (1+o(1)) to 0$.

Un consiglio, se posso permettermi: non fare sostituzioni del tipo $t=1/n$ quando c'è $(-1)^n$, perchè altrimenti rischi di perdere il controllo di quello fai. Infatti $(-1)^{1/t}$ lo puoi calcolare quando $1/t in NN$.

ID

[pilloeffe]

Ciao AddUp,

Si può risolvere bene anche coi limiti notevoli:

$lim_{n \to +\infty}(-1)^n (sin(3/n)[n-sqrt(n^2+7)])/ln(1+1/n) = lim_{n \to +\infty}(-1)^n (sin(3/n)[n(1- sqrt(1+7/n^2))])/ln(1+1/n) = $
$ = - 21lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} frac{sin(3/n)}{3/n} frac{sqrt(1+7/n^2) - 1}{7/n^2} frac{1/n}{ln(1+1/n)} = - 21 \cdot 0 \cdot 1 \ cdot frac{1}{2} \ cdot 1 = 0$

[Indrjo Dedej]

Ciao AddUp,

Si può risolvere bene anche coi limiti notevoli:

$lim_{n \to +\infty}(-1)^n (sin(3/n)[n-sqrt(n^2+7)])/ln(1+1/n) = lim_{n \to +\infty}(-1)^n (sin(3/n)[n(1- sqrt(1+7/n^2))])/ln(1+1/n) = $
$ = - 21lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} frac{sin(3/n)}{3/n} frac{sqrt(1+7/n^2) - 1}{7/n^2} frac{1/n}{ln(1+1/n)} = - 21 \cdot 0 \cdot 1 \ cdot frac{1}{2} \ cdot 1 = 0$

Ho usato anch'io i limiti notevoli. Solo la forma cambia.

ID

[AddUp]

Grazie ad entrambi per le risposte!

A pilloeffe:

sinceramente non ho capito diverse cose, in primis l'applicazione di limiti notevoli che valgono per $ x rarr 0 $ quando in questo limite si ha $ x rarr oo $. Magari il tuo procedimento verrebbe comodo a seguito del cambio di variabile che ho fatto io, o sbaglio?

A Indrjo Dedej:

perfetto ho usato gli sviluppi di Taylor fino al primo ordine come hai svolto e mi è uscito! La difficoltà a questo punto stava soprattutto nel rendersi conto di dover razionalizzare, il che credo potesse essere fatto anche nel mio svolgimento alla fine. Alla fine il limite viene zero dato che si tratta di una quantità finita fratto una quantità infinita, giusto?

[pilloeffe]

Ciao AddUp,

Come ha scritto giustamente anche Indrjo Dedej, i due metodi sono sostanzialmente equivalenti.

sinceramente non ho capito diverse cose, in primis l'applicazione di limiti notevoli che valgono per $x \to 0 $ quando in questo limite si ha $x \to infty$.

No, nel caso in esame $n \to +\infty$, e per $n \to +\infty \implies \frac{1}{n} \to 0$. Quindi, se si riesce a far comparire nel limite qualcosa del tipo $frac{1}{n}$ si possono applicare i limiti notevoli che valgono per $x = frac{1}{n} \to 0$.

[Indrjo Dedej]

:? Alla fine il limite viene zero dato che si tratta di una quantità finita fratto una quantità infinita, giusto?

In parole povere sì.

[AddUp]

Ok, chiarissimo! Grazie ancora!