[Scienza delle Costruzioni] Tensore di deformazione

[Faffa]

Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con la definizione di tensore di deformazione.
Il mio libro parte così:
Consideriamo un corpo nello spazio tridimensionale descritto da un dominio di punti D, a deformazione avvenuta per effetto delle sollecitazioni il corpo si è trasformato nella configurazione C che quindi è un codominio.
Il generico punto $P$ nella configurazione indeformata si è portato nella configurazione deformata in $P^'$



Detto $r$ il vettore posizione e $\eta$ il vettore spostamento. Nello spazio tridimensionale definita una terna xyz si ha che le componenti di $\eta$ saranno:
$\eta_P=u_P,v_P,w_P$
dove chiaramente la $u$ sarà funzione di $(x,y,z)$ del punto $P$, così come lo sarà $v$, così come lo sarà $w$.



Introduciamo adesso il tensore di deformazione, per farlo andiamo a studiare l'intorno di un punto $P$. Consideriamo un generico corpo tridimensionale e concentrandoci nell'intorno infinitesimo di $P$:



Quindi detto $PQ$ il vettore $dr=(dx,dy,dz)$
sviluppando in serie di Taylor la prima componente di $\eta$ secondo l'asse $x$ avremo:





Ora viene la mia domanda...come mai scrive $u_Q=u_P +...$ ? $\eta$ non era $PP^'$
e $Q Q^'$?
inoltre per avere l'entità della deformazione noi facciamo la differenza tra lo spostamento di P e quello di Q eppure alla fine la formula è :
$\eta_Q = \eta_P +[J_P] * dr$
come se non importasse più fare la differenza dello spostamento ma importasse solo lo spostamento di Q

Sto da ore e non ci sto capendo nulla

[Secco Jones]

Il tuo testo si riferisce a punti vicini (cinematica degli intorni), alla fine non è altro che un' approssimazione tramite lo sviluppo di Taylor, scrivere $u_q=u_p + ....$ per $q->p$ è come se stessimo scrivendo $f(x)=f(x_0)+...$ per $x->x_0$.
Si parte da qui e poi si arriva alla definizione di tensore delle deformazioni.

[Vulplasir]

Ma ancora si insegna in questo modo antiquato la meccanica dei continui?

[Faffa]

Ok adesso matematicamente mi è chiaro !
Però praticamente capisco questo:





poi quando passa a scrivere:


non capisco perché ha bisogno di fare lo sviluppo in serie di Taylor (non matematicamente come passaggio) ma come significato e non scrive semplicemente:

$u_i (Q)= u_i (P) + du_i $ ?

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Perché antiquato ?

[Secco Jones]

Fondamentalmente quello che scrivi tu e quello che scrive il libro è la stessa cosa

[Faffa]

Io ho provato così:
$df=\nabla f * dr$
Però comunque non troverei l'o-piccolo cioè $o^2$

[Secco Jones]

La questione sarebbe un po' più lunga di come è fatta negli appunti postati, troppo sbrigativa a mio avviso, magari consulta altre fonti

[Faffa]

Sto cercando da ben due giorni e non trovo nulla di chiaro

Tutto ciò è nato perché applicano (così come altri testi) lo sviluppo in serie di Taylor senza spiegare cosa c'entra con il fatto che QP si trasformi in Q'P'....

[anonymous_0b37e9]

Tutto ciò è nato perché applicano ...

Anche se non ho compreso a fondo il tuo problema e nella speranza che ti possa aiutare:

$[vec(O Q')=vec(O Q)+vec(Q Q')=vec(O Q)+vecu(Q)] ^^ [vec(O P')=vec(O P)+vec(P P')=vec(O P)+vecu(P)] rarr$

$rarr [vec(P' Q')=vec(O Q')-vec(O P')=vec(O Q)+vecu(Q)-vec(O P)-vecu(P)=vec(P Q)+vecu(Q)-vecu(P)]$

In definitiva:

$[vec(P' Q')=vec(P Q)+vecu(Q)-vecu(P)]$

come si poteva più agevolmente evincere considerando il quadrilatero $PP'Q'Q$. A questo punto, si esprime la seguente differenza vettoriale:

$[vecu(Q)-vecu(P)]$

mediante uno sviluppo in serie di Taylor.

[Faffa]

Ti ringrazio tanto per l'aiuto.

Ciò che non riesco a comprendere è perché esprimiamo la differenza vettoriale mediante uno sviluppo in serie di Taylor ? perché vogliamo un "polinomio" che ci descriva $\vec {Q'P'}$ ? in quanto conosciamo $\vec {QP}$ ma non $\vec {Q'P'}$ ? o sto forzando una risposta che in realtà è molto più semplice ma non la vedo ?