Funzioni analitiche

[otta96]

Tempo fa stavo cercando di dimostrare una cosa che aveva detto il nostro prof di analisi, ma non ci sono riuscito, per questo ora vi chiedo un aiuto: dimostrare che data una funzione $f:(a,b)->RR,x_0\in(a,b)$ se la funzione è analitica in $x_0$, allora è analitica anche in tutti i punti di un intorno di $x_0$.

[Bremen000]

Ma nella definizione di analiticità di una funzione non si usano gli aperti di solito? Cioè io come definizione ho sempre usato:

$f : A \to RR$ è detta analitica in un aperto $J \subset A$ se per ogni $x_0 \in J$ esiste una serie di potenze $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ tale per cui la serie converge in un intorno di $x_0$ contenuto in $J$ e in tale intorno vale $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$.

Dunque quando sento dire "$f$ è analitica in un punto" mi immagino "$f$ è analitica in un intorno di quel punto", cosa che risponderebbe tautologicamente alla tua domanda....

[otta96]

Io per analitica in un punto intendo che esiste un intorno del punto in cui la serie di Taylor converge alla funzione, quello che volevo sapere è: se prendo un punto in questo intorno, e considero la serie di Taylor centrata in quel punto, questa convergerà alla mia funzione? So che è così ma non so come dimostrarlo..... Non so se mi sono spiegato benissimo...

[anonymous_0b37e9]

Dopo svariate ricerche sono riuscito a trovare un teorema che dimostra, utilizzando gli strumenti dell'analisi complessa, l'analiticità (secondo la classica definizione che ne hai dato) di una funzione definita da una serie di potenze:

[dissonance]

@SergeantElias: Questo post tocca un punto un po' delicato della teoria delle funzioni analitiche. Mi ricordo che quando seguii il corso di analisi complessa all'università il professore lasciò la domanda dell'OP come esercizio dicendo che era un esercizio "bastardo". Questo perché se uno cerca di risolverlo direttamente, facendo quello che hai citato nel tuo ultimo post, deve fare un po' di calcolo discreto e non è proprio facilissimo. È una dimostrazione "hard".

Dopo però uno scopre che c'era una dimostrazione "soft", molto semplice. Se $f(z)=\sum a_kz^k$ in $D_r(0)$, in particolare è olomorfa (="differenziabile in senso complesso") in $D_r(0)$, e quindi è analitica in tutto $D_r(0)$.

[anonymous_0b37e9]

Ciao dissonance e grazie per la precisazione. Se ho capito bene, andrebbe motivato a dovere il passaggio in cui si scambia l'ordine delle due sommatorie. Per quanto riguarda il resto, mi pare sufficientemente rigoroso. Chiedo semplicemente una conferma.

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[dissonance]

Certo, secondo me la dimostrazione che hai postato è corretta.

Dicevo solo che usando la teoria delle funzioni olomorfe uno può dare una dimostrazione "soft" molto più semplice. (Il che non toglie merito alla dimostrazione "hard", che contiene molte più informazioni).

[gugo82]

L'argomento è già stato trattato millenni fa... Ho anche postato una dimostrazione "hard" mi pare.
Appena ho due minuti la cerco e ve la linko... Altrimenti ve la scrivo da capo.

[otta96]

Della dimostrazione postata da Sergeant Elias, non capisco il passaggio finale in cui si scambiano gli indici della somma (più che altro non capisco se si può fare così senza preoccuparsi minimamente, mi sembra strano), il resto è chiaro.
Per rispondere a gugo82, io ovviamente avevo cercato se c'erano discussioni su questa cosa, e in effetti ce n'erano tante, ma tutte (quelle che ho trovato io!) usano l'analisi complessa, che non conosco, inoltre ho capito che nell'analisi complessa le cose vanno persino "troppo bene", nel senso che valgono risultati molto forti e quindi non si può dire, beh vale per le funzioni complesse, quindi anche per quelle reali.

[anonymous_0b37e9]

Certo, secondo me la dimostrazione che hai postato è corretta.

Ottimo. Tuttavia:

... più che altro non capisco se si può fare così senza preoccuparsi minimamente, mi sembra strano ...

Per quanto mi riguarda, dovrei fare delle ricerche. Anzi, scusate se ho allegato una dimostrazione della quale non avrei saputo giustificare rigorosamente un passaggio.

... e quindi non si può dire, beh vale per le funzioni complesse, quindi anche per quelle reali.

Non dovrebbe essere un problema, se le funzioni di cui si parla sono espresse mediante serie di potenze.

Appena ho due minuti la cerco e ve la linko ... Altrimenti ve la scrivo da capo.

Grazie per la disponibilità.