gugo82 ha scritto:La dimostrazione precedente, seppur lievemente modificata, vale pure per $n=1$ e le modifiche mostrano che per le serie in una variabile reale, come dicevi tu, si può assicurare l'analiticità in tutto il cerchio di convergenza di un elemento analitico.
Riporto la dimostrazione (mia, quindi potrebbe presentare degli errori) che in effetti ricalca quella fatta in precedenza nel caso di più variabili.
Siano $A subseteq RR$ un aperto contenente $0$ ed $f:Ato RR$.
Se $f$ è analitica in $0$ allora essa è analitica in ogni punto del cerchio di convergenza del suo elemento analitico centrato in $0$.
Siano $\sum a_n*x^n$ l'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ ed $r$ il suo raggio di convergenza: acquisire la tesi equivale a provare vera la seguente proposizione:
P) $quad AA barx in ]-r,r[,exists (b_n) subset RR " ed " exists rho_barx>0:quad AA x in (barx-rho_barx,barx+rho_barx), f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)b_n*(x-barx)^n$.
Fissiamo $barx in ]-r,r[$: operando algebricamente sull'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ troviamo:
$AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*(x-barx+barx)^n=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*\sum_(k=0)^n((n),(k))*(x-barx)^k*barx^(n-k)$;
ponendo:
$AA n,k in NN,quad C_k^n=\{(((n),(k)), ", se " kle n),(0, ", se " k>n):} quad$,
dalla precedente traiamo:
a) $quad AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(k=0)^(+oo)a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$
onde $f$ è in $]-r,r[$ la somma fatta per colonne della serie doppia che ha per addendo generico il numero reale $a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$.
Mostriamo che esiste un $delta_barx>0$ tale che la serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$ converga assolutamente per ogni scelta di $x$ in $]barx-delta_barx,barx+delta_barx[$.
Visto che $barx in ]-r,r[$, è sicuramente non vuoto l'intervallo $]|barx|,r[$: fissiamo una volta per tutte $xi_barx in ]|barx|,r[$ e poniamo $delta_barx=xi_barx-|barx|>0$; avendo per definizione $AA x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), |x-barx|le xi_barx-|barx|$, possiamo maggiorare i valori assoluti dei termini della serie doppia ottenuti fissando $x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx)$ come segue:
b) $quad |a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le |a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)$.
Sommando per colonne anche la serie doppia dei valori assoluti, applicando t.a.t. le maggiorazioni
b) e ricordando la formula del binomio di Newton, troviamo per ogni $n in NN$:
$\sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*sum_(k=0)^nC_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*xi_barx^n$
da cui segue facilmente la maggiorazione:
c) $\sum_(n,k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le \sum_(n=0)^(+oo)|a_n|*xi_barx^n quad$.
Visto che $xi_barx in ]-r,r[$, la serie $\suma_n*xi_barx^n$ è assolutamente convergente (si ricordi la proprietà estremale del raggio di convergenza $r$), onde dalla
c) consegue l'assoluta ed incondizionata convergenza della serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k) quad$.
Per quanto visto finora è lecito scambiare l'ordine delle sommatorie nel secondo membro di
a) a patto di restringere l'insieme in cui varia $x$ ad un intervallo di centro $barx$ e semiampiezza $delta_barx$:
d) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k)*(x-barx)^k$;
posto al solito:
$AAk in NN, b_k=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k) quad$ (*)
la
d) prende la forma:
f) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)b_k*(x-barx)^k$.
Stante l'arbitrarietà nella sceltadi $barx$, da quanto detto consegue che la
P) è verificata con la successione $(b_n)$ definita dalla (*) (seppur cambiando il nome dell'indice) e con $rho_barx=delta_barx>0$.
Noto che, essendo $rho_barx=xi_barx-|barx|$, la convergenza dell'elemento analitico $\sum b_n*(x-barx)^n$ è assicurata in un cerchio interno al cerchio di convergenza dell'elemento analitico di $f$ centrato in $0$: ciò significa che l'effettivo raggio di convergenza $r_barx$ di $\sumb_n*(x-barx)^n$ gode della seguente proprietà:
$AA xi_barx in]|barx|,r[, quad r_barx ge xi_barx-|barx| quad=>quad r_barx ge r-|barx|$
(la conseguente si ottiene passando ambo i membri della disuguaglianza antecedente all'estremo superiore risp. a $xi_barx$).
La disuguaglianza al secondo membro dell'implicazione precedente è
importantissima, poichè asserisce che il raggio di convergenza del nuovo elemento analitico di $f$ è non inferiore alla distanza del suo centro (cioè $barx$) dalla frontiera del cerchio di convergenza dell'elemento analitico di partenza (cioè $]-r,r[$): questo è il punto di partenza del cosiddetto
Metodo del Prolungamento Analitico.
Infine, forse si può aggiustare la dimostrazione per le serie di potenze in una variabile complessa, ma non ho avuto modo di pensarci nel fine settimana. Prova, non si sa mai che tu non riesca a tirar fuori un risultato migliore del mio.