Differenziale al quadrato

[Faffa]

Ciao ragazzi, avendo il differenziale

$du_i = frac{\partial u_i}{\partial x_k} dx_k$

elevandolo al quadrato sul libro scrive:
$frac{\partial u_i}{\partial x_k} frac{\partial u_i}{\partial x_L} dx_k dx_L$

come mai non scrive :
$frac{\partial u_i}{\partial x_k} frac{\partial u_i}{\partial x_k} dx_k dx_k ?$

[killing_buddha]

E' possibile lo stia elevando al quadrato rispetto alla moltiplicazione che rende un'algebra l'algebra esterna delle forme differenziali su una varietà (diciamo di dimensione $n$): si tratta dell'operazione di differenziazione esterna, che manda una 1-forma, scritta in opportune coordinate locali come
$$
\omega = \sum_{i=1}^n \omega_i(x) {\rm d}x_i
$$
nella 2-forma
$$
{\rm d}\omega = \sum_{i < j} \left(\frac{\partial \omega_i(x)}{\partial x_j} - \frac{\partial \omega_j(x)}{\partial x_i}\right) {\rm d}x_i \land {\rm d}x_j
$$

[Faffa]

Ho dimenticato di scrivere che siamo in un sistema cartesiano ortogonale di assi $x_1,x_2,x_3$.
Aggiungo più dettagli così sarà più semplice capire cosa ha fatto:
$dx$ ha componenti $dx_1,dx_2,dx_3$
$dx' $ha componenti $x'_1,x'_2,x'_3$
$u_i=x'_i - x_i$

Quindi sapendo che le due distanze sono(adottando la convenzione di Einstein):
$dl^2 = dx_i ^2$
$(dl')^2 = (dx'_i) ^2 = (dx_i+du_i)^2$

Sostituendo
$du_i=\frac{\partial u_i}{\partial x_k} dx_k$

si ha:
$(dl')^2 = (dx'_i) ^2 = (dx_i+du_i)^2= dl^2 +2 \frac{\partial u_i}{\partial x_k} dx_k dx_i + \frac{\partial u_i}{\partial x_k} \frac{\partial u_i}{\partial x_L} dx_k dx_L$

perciò sopra nel primo post ho scritto che aveva elevato al quadrato un differenziale



Ti ringrazio per la mano che mi stai dando !

[Faffa]

up

[Vulplasir]

Il libro dice bene, elevando al quadrato non fai altro che sommare su due indici tutte le possibili coppie di termini

[Faffa]

perché sarebbe stato un errore usare lo stesso indice (cioè due volte k senza usare L)?

Ti ringrazio per l'aiuto.

[Vulplasir]

Perché usando un solo indice non stai considerano i prodotti tra termini diversi, per fare un esempio:

$(x_1+x_2)^2=x_1*x_1+x_2*x_2+x_1*x_2+x_2*x_1$

Mettendoci un solo indice, tu avresti avuto: $(x_1+x_2)^2=x_1*x_1+x_2*x_2$

Il doppio indice significa che devi sommare tutte le possibili coppie, che è quello che bisogna fare quando si eleva al quadrato una somma.

[Faffa]

Hai detto ciò perché quando ha fatto

$(dx_i +du_i)^2=$

$=(dx_i)^2+ 2dx_i du_i + (du_i)^2=$

$=dl^2 + 2dx_i \frac{\partial u_i}{\partial x_k} dx_k + (sum_{k=1}^{3} \frac{\partial u_i}{\partial x_k} dx_k)^2 ?$

Mentre per il tuo esempio spero di averlo capito ( cioè che il quadrato di una sommatoria NON è uguale alla sommatoria dei quadrati) qua non riesco a capire come applicarlo alla sommatoria, cioè mentre il quadrato di un binomio, trinomio e così via è di semplice risoluzione per la sommatoria non saprei come fare a scrivere gli indici


Ti ringrazio e mi dispiace che stai perdendo tempo per farmi capire una banalità

[Vulplasir]

Gli indici di una sommatoria al quadrato si scrivono come ti ho detto prima, elevare al quadrato significa moltiplicare per se stesso, quando fai il prodotto tra una sommatoria e se stessa, prendi il primo termine della sommatoria, lo moltiplichi per tutti i termini della sommatoria e ci fai la somma, poi prendi il secondo termine e fai la stessa cosa, ossia fai la somma di TUTTI i possibili prodotti tra i termini, stessa cosa vale per il quadrato di un binomio, di un trinomio etc...quindi se per elevare al quadrato bisogna usare due indici perchè si stanno sommando tutte le possibili coppie di prodotti, per elevare alla terza, quanti indici bisognera usare?

[Faffa]

Quindi ad esempio se avessi :
$(\sum_{i=1}^(3) 2_i)^2 = 36$
la posso scrivere o come
$(\sum_{i=1}^(3) 2_i)^2=(\sum_{i=1}^(3) 2_i)*(\sum_{i=1}^(3) 2_i) = (2_1+2_2+2_3)*(2_1+2_2+2_3)= 36$
o come
$(\sum_{i=1}^(3) 2_i)^2=(\sum_{i=1}^(3) 2_i)*(\sum_{k=1}^(3) 2_k) = (2_1+2_2+2_3)*(2_1+2_2+2_3)= 36$
cioè per non mettere elevato al quadrato lui usa 2 indici diversi se ho ben capito

Per elevare alla terza avremo bisogno di 3 indici per avere tutte le combinazioni possibili