Irrazzionalità di due radici !!

Messaggioda galles90 » 12/08/2017, 19:10

Buonasera a tutti !!

Il testo mi chiede di provare se \(\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{3}\) sia irrazionale.
Ho posto \(\displaystyle \sqrt{x}= \sqrt{2}+\sqrt{3} \)
\(\displaystyle x=5+2\sqrt{6} \)
\(\displaystyle x=\sqrt{5+2\sqrt{6}} \)
da qui ho dimostrato per assurdo "come si fa per \(\displaystyle \sqrt{2} \)" quindi siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \) primi tra loro si ha
\(\displaystyle x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}= \tfrac{a}{b} \)
\(\displaystyle x=5+2\sqrt{6}= \tfrac{a^2}{b^2} \)
\(\displaystyle x=2\sqrt{6}= (\tfrac{a^2}{b^2}-5)\)
\(\displaystyle x=24= (\tfrac{a^4}{b^4}-10\tfrac{a^2}{b^2}+25)\)
\(\displaystyle x=-1= [\tfrac{a^2}{b^2}(\tfrac{a^2}{b^2}-10)\)].

arrivato qui deduco " non so se sia giusto" la quantità al terzo membro deve essere positiva per \(\displaystyle a,b \ge 2 \) pertanto è assurdo.

Grazie in anticipo
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Re: Irrazzionalità di due radici !!

Messaggioda TeM » 12/08/2017, 23:47

Se \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) fosse razionale allora anche \(\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^2 = 5 + 2\sqrt{6}\) dovrebbe esserlo, ma questo è un assurdo
perché \(\sqrt{6}\) è noto essere irrazionale e il prodotto fra un razionale non nullo e un irrazionale è irrazionale e la
somma di un razionale e un irrazionale è irrazionale. In conclusione, \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) è irrazionale, c.v.d. ;)

P.S.: analogamente alla dimostrazione dell'irrazionalità di \(\sqrt{2}\) (fornita da Pitagora) si prova che la radice quadrata
di qualsiasi intero che non sia un quadrato perfetto è irrazionale; questo fatto lo si dà per noto in dimostrazioni più
articolate.
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Re: Irrazzionalità di due radici !!

Messaggioda galles90 » 13/08/2017, 12:53

Grazie per la risposta.......chiarissimo.
I passaggi che ho fatto , hanno senso ? c'è qualcosa di buono ?
Grazie
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