Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda mklplo » 13/08/2017, 11:00

quindi $phi(a)=phi(b)=phi(ab)=phi(e)$,dove \( \phi:G\rightarrow G \) è la famiglia di funzioni \( \phi(x)=x^{2n} \) \( \forall n \in N \) ,giusto?
mklplo
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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda Shocker » 13/08/2017, 11:05

mklplo ha scritto:quindi $phi(a)=phi(b)=phi(ab)=phi(e)$,dove \( \phi:G\rightarrow G \) è la famiglia di funzioni \( \phi(x)=x^{2n} \) \( \forall n \in N \) ,giusto?

No.

Conosci la definizione di omomorfismo di gruppi?
Nature by numbers - http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

$F(n) = ( \varphi^n - (1 -\varphi)^n )/sqrt(5)$
#NikkioAlleIMO - https://www.youtube.com/watch?v=vEl5bFIALb8

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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda mklplo » 13/08/2017, 11:26

$phi:G->H$ è un'omomorfismo,se per ogni $a,b in G$,$phi(ab)=phi(a)phi(b)$,giusto?
mklplo
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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda Shocker » 13/08/2017, 11:29

mklplo ha scritto:$phi:G->H$ è un'omomorfismo,se per ogni $a,b in G$,$phi(ab)=phi(a)phi(b)$,giusto?

Giusto, allora mi spieghi come diavolo fa a valere $\phi(a) = \phi(e) = e$ se $\phi$ è un automorfismo? Devi riflettere su quello che scrivi.

Sai che $G = <a, b>$ allora $\phi(a)$ va in un altro possibile generatore di $G$. Quali sono altri generatori di $G$?
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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda mklplo » 13/08/2017, 11:31

i generatori di $G$ penso siano $a,b,ab$ e quindi $phi(a)=b$ o $phi(a)=ab$,giusto?
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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda Shocker » 13/08/2017, 11:42

mklplo ha scritto:i generatori di $G$ penso siano $a,b,ab$ e quindi $phi(a)=b$ o $phi(a)=ab$,giusto?

Corretto, cioè $G$ può essere generato da ${a, b}$, ${a, ab}$, ${b, ab}$(dimostra che questi insiemi generano $G$). Attenzione però: anche $a$ è una scelta valida come generatore, quindi le scelte per $\phi(a)$ sono tre: $\phi(a) = a$ oppure $\phi(a) = b$ oppure $\phi(a) = ab$, adesso per $\phi(b)$ le scelte diminuiscono: ne ho solo due perché devo escludere il generatore precedentemente scelto(devo escludere anche i generatori del sottogruppo generato da $\phi(a)$ ma in questo caso esso ha ordine $2$ sicché l'unico generatore di $<\phi(a)>$ è $\phi(a)$ stesso).

Quindi gli automorfismi in totale sono $6$, un esempio è $\phi: G \to G$ tale che $\phi(a) = b$ e $\phi(b) = ab$, un altro è l'identità che manda $a$ in $a$ e $b$ in $b$, un altro ancora è $\psi: G \to G$ tale che $\psi(a) = b$ e $\psi(b) = a$.
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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda mklplo » 13/08/2017, 11:44

quindi una volta individuato il numero di generatori,basta fare il fattoriale di quel numero per ottenere quello degli automorfismi?
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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda Shocker » 13/08/2017, 11:57

mklplo ha scritto:quindi una volta individuato il numero di generatori,basta fare il fattoriale di quel numero per ottenere quello degli automorfismi?

No, magari fosse così facile :P.
In questo caso il numero è $3!$, ma è una coincidenza: più che altro ti è chiaro perché viene proprio $6$? Ho $3$ scelte per il primo generatore, $2$ per il secondo quindi in totale ho $6= 3*2$ automorfismi.
Rifletti sul procedimento: hai individuato i generatori di un gruppo, hai scelto un insieme di generatori, hai contato quante scelte hai per ogni generatore dell'insieme e hai verificato che queste scelte siano effettivamente valide. In generale questo procedimento può funzionare o meno, diciamo che è un buon primo attacco. Per gruppi ciclici e particolari gruppi abeliani c'è una macchinetta che ti trova automaticamente gli automorfismi, per gruppi strani(anche abeliani) il discorso diventa lungo e tecnico. Prima di pensare a questo problema ti consiglio di consolidare e capire le nozioni di base che stai studiando, chissenefrega se c'è il cannone che ti risolve il problema in una riga: sporcati le mani e fai esperienza!
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Re: Esercizio sui gruppi

Messaggioda mklplo » 13/08/2017, 12:00

grazie,ancora erano proprio le intenzioni che avevo da qui a settembre,consolidare gli argomenti studiare,per non avere problemi in seguito.(infatti proprio per questo sto cercando di capire anche come funziona il quoziente fra insiemi e gruppi,come si può constatare dall'ultimo thread che ho aperto.)
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