calcolare integrale con coseno e seno

[alere]

Ciao, avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:

Dato il seguente campo
$F(x,y)=(cosxy-y(x+y)senxy , cosxy-x(x+y)senxy$

calcolare l'integrale del campo lungo il segmento congiungente (0,0) , (1,1)

Allora io l'ho iniziato a risolvere in questa maniera.
il segmento da (0,0) a (1,1) ha equazione parametrica:
${ (x=t),(y=t):}$ con $0\leq t\leq 1$

l'integrale da calcolare è:
$\int \vec{F}\cdot d\vec{l}=\int (F_{x}(x,y)dx)+(F_{y}(x,y)dy)=$
$=\int_{0}^{1} (F_{x}(t,t)dt)+(F_{y}(t,t)dt)=$
$=\int_{0}^{1} (2cost^2-4t^2sent^2 )dt$

considero l'integrale indefinito:
$\int (2cost^2-4t^2sent^2 )dt=$
$2\int cost^2 dt-4\int t^2sent^2 dt$

per il primo integrale abbiamo:
$\int cost^2=\int \frac{1-cos2t}{2}dt=\frac{1}{2}\int ( 1+ \frac{1}{2}\cdot 2cos2t )dt=$
$=\frac{1}{2}\int dt+\frac{1}{4}\int 2cos2t dt=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}sen2t$

mi sono bloccato qui.
ora non riesco a risolvere il secondo integrale.
se mi potete aiutare.
grazie.

[@melia]

Anche per il primo integrale ci sono dei problemi, hai confuso $cos(t^2)$ con $(cos t)^2$

[alere]

si è vero hai ragione.
quindi come si risolvo entrambi?
se mi puoi aiutare.
grazie.

[spugna]

Non hai bisogno di fare tutti quei conti...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$F$ è un campo gradiente

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$F=nabla u$, con $u(x,y)=(x+y)cos(xy)$, quindi basta calcolare $u(1,1)-u(0,0)$

[alere]

Ciao,
Mi puoi dire come sei arrivato a calcolati il potenziale del campo.
Se mi puoi aiutare.
Grazie.

[ciampax]

Alere... io ribadisco il concetto espresso tempo fa. Tu ti lanci a fare gli esercizi senza avere idea di cosa stai facendo, questo perché la teoria non la guardi neanche per sbaglio (e te lo dico da docente, fidati, ho una certa esperienza in gente che non studia come dovrebbe).

Una qualsiasi persona conscia di come funziona l'integrazione curvilinea di campi vettoriali, guardando una funzione mostruosa come quella data, prima di lanciarsi a calcolare un integrale che, ti assicuro, è una spina nel fianco grossa quanto uno dei chiodi usati per appiccicare Gesù Cristo alla croce, avrebbe seguito la strada più "standard" e tipica che chiunque affronti questo tipo di esercizi dovrebbe conoscere.
Hai un campo $F=(F_1,F_2)$ che sono le componenti ($F_x, F_y$ normalmente si usano per denotare le derivate parziali, e già qui non ci siamo con le notazioni): per prima cosa, come ogni anima pia farebbe, dovresti provare a vedere se $F_1)_y=(F_2)_x$ perché se così fosse, allora potresti dire (sotto opportune ipotesi, verificate in questo caso) che esiste una bella funzione $f$ tale che $\nabla f=(F_1, F_2)$, cioè $f_x=F_1,\ f_y=F_2$... e in tal caso, il campo risulterebbe conservativo, per cui l'integrale di linea equivarrebbe a calcolare $f(B)-f(A)$ con $A,B$ punto di partenza e di arrivo della curva rispettivamente...

Ma immagino che questo mio discorso ti sia parso fumoso e senza senso (del resto sono uno stronzo, io) per cui lascio a qualche altra anima pia (se proprio ce ne sono) il compito di farti capire quanto male stai affrontando lo studio di questa materia.

[alere]

ho già verificato che il campo è conservativo.
la teoria l'ho studiata , solo che nell'applicazione e nel calcolo mi ci perdo.
Il tuo discorso non mi è parso fumoso ne senza senso.
Io ho semplicemente chieste aiuto su un problema che non riesco a risolvere.
Se non mi potete aiutare fa lo stesso.

[spugna]

ho già verificato che il campo è conservativo.

Allora sei a buon punto: se non sai come calcolare la primitiva, puoi comunque semplificare il problema scegliendo in modo conveniente un altro percorso che congiunge i due punti (per esempio da $(0,0)$ a $(1,0)$ e da $(1,0)$ a $(1,1)$). In ogni caso...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la primitiva è una funzione $u$ tale che $(partial u)/(partial x)=cos(xy)-y(x+y)sin(xy)$, quindi bisogna integrare rispetto a $x$, considerando $y$ come un parametro: integrando per parti il secondo termine, viene $u=(x+y)cos(xy)+c(y)$, ma si ha un'equazione analoga per $(partial u)/(partial y)$, da cui si ricava che $c$ è una costante.

[dissonance]

ho già verificato che il campo è conservativo.

Allora sei a buon punto: se non sai come calcolare la primitiva, puoi comunque semplificare il problema scegliendo in modo conveniente un altro percorso che congiunge i due punti (per esempio da $(0,0)$ a $(1,0)$ e da $(1,0)$ a $(1,1)$). In ogni caso...

Pure io avrei fatto così. Anzi questo esercizio è istruttivo proprio per questo motivo: se uno calcola lungo il cammino che è stato assegnato, incappa in un integrale di difficile risoluzione perché contiene termini come \(\cos(t^2)\) che non sono semplici da integrare (non so nemmeno se ammettano primitiva elementare, penso di no). Perciò tocca ingegnarsi per trovare un'altra via.

[Weierstress]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

un integrale che, ti assicuro, è una spina nel fianco grossa quanto uno dei chiodi usati per appiccicare Gesù Cristo alla croce