Esercizio su basi ortonormali di spazi vettoriali.

[mklplo]

Salve,oggi vi chiedo un aiuto con un problema sugli spazi vettoriali che mi ha dato molte difficoltà,vi sarei grato se mi aiutaste.L'esercizio è questo:
"Preso $V$ essere le funzioni reali \( y=f(x) \) soddisfacenti \( dy^2/dx^2+9y=0 \) .
(a)Prova che $V$ è uno spazio vettoriale reale bidimensionale
(b)In $V$ definiamo \( \langle y,z \rangle = \int_0^\pi yz \ dx \) .Trova una base ortonormale in $V$."
Allora,per quanto riguarda il primo punto,forse qualcuno di voi potrebbe suggerirmi di trovare la famiglia di funzioni che risolve l'ODE per poi continuare,però io ho già visto un altro esercizio le cui soluzioni di una ODE non sono esprimibili esplicitamente,e quindi...
Per il secondo punto non so come trovare le basi ortonormali in $V$.

[ciampax]

Per il primo punto, fai vedere che valgono gli assiomi di spazio vettoriale. Per esempio, se prendi due funzioni $f,g\in V$ allora vuoi dimostrare che $f+g\in V$. Quindi devi far vedere che tale funzione soddisfa la condizione data. Ma
$$(f+g)''+9(f+g)=f''+g''+9f+9g=(f''+9f)+(g''+9g)=0$$
perché entrambi i termini tra parentesi sono uguali a zero. Prova con gli altri 7 (8?) assiomi.

Per il secondo devi usare il procedimento di Graham Schmidt.

Comunque, figliolo, lanciarsi a fare esercizi senza avere idea di ciò che stai leggendo (ho letto varie discussioni da te postate e ti posso assicurare che la matematica non si studia così) non ha molto senso.

[mklplo]

Grazie,per la risposta(anche se il nome che hai scritto non compare nel libro,forse viene applicato senza dire il nome,ma..).
Comunque,per sapere,come si studia la matematica?
Perché il mio "metodo di studio attuale" è:avere un approccio iniziale con le definizioni e i teoremi,migliorare la comprensione di questi facendo svariati alcuni esercizi di cui alcuni non riesco a fare e altri ho problemi di formalizzazione,e andare avanti.
Te lo chiedo,per sapere se questo sia o meno corretto.

[ciampax]

Metodo terribile. La matematica va studiata comprendendo il senso delle definizioni, il perché della validità delle proprietà e, magari, se non si è proprio certi, riprovando a scriversi tutto. Tu stai facendo una lettura "superficiale" (e lo si evince da certe affermazioni che fai) e ti lanci a fare esercizi credendo che "chi pratica, impara". Non è così.

Tra l'altro, passi come se nulla fosse da un argomento all'altro, senza concentrarti e senza pensare attentamente a quello che fai. Si percepisce superficialità in ogni tua singola affermazione.

[mklplo]

a parte che le definizioni e i teoremi le segno tutti,ma quale sarebbe il metodo migliore per migliorare(scusa il gioco di parole)?

[ciampax]

Concentrati su una cosa per volta. Ad esempio, considerando che l'analisi è fondamentale, inizia da quella. Ma piano, passo passo, cercando di capire se effettivamente hai compreso tutti i passaggi e i teoremi e i risultati. Poi passa ad altro, come l'algebra lineare e la geometria. Ma senza strafare, altrimenti non ne uscirai vivo.

[mklplo]

Grazie della risposta,ma quindi l'algebra astratta non è,come l'analisi,fondamentale.Per sapere,c'è un modo che ti permetti di capire se effettivamente si capiscono tutti i passaggi,i teoremi e i risultati?

[ciampax]

L'algebra astratta è la base di tutte le cose, l'ABC. Ma considerando che al momento ti vedo confuso (e parecchio) non mi sognerei mai di suggerirti di iniziare a studiare la teoria dei gruppi o degli anelli.
Un modo? Fondamentalmente, credo che dopo un po' lo "senti" se effettivamente hai compreso ciò che sta dietro i vari ragionamenti. In ogni caso, uno può sempre chiedere.

[mklplo]

grazie della risposta,quindi l'interrompere per adesso lo studio dell'algebra astratta e della teoria dei campi,non comporterà dei problemi in futuro quando riproverò a studiarlo?
p.s:quando dici che prima della teoria dei gruppi,anelli e campi,dovrei studiare algebra lineare,geometria e analisi,ti stai riferendo solo a geometria 1 e analisi 1 o anche ad analisi 2 e geometria 2?

[ciampax]

Lo vedi che corri? Lascia perdere tutto. Pensa all'analisi reale in una variabile reale, a studiare bene (meglio di come si fa alle superiori) quelli argomenti. Poi ne riparliamo