classificare le forme quadratiche (esercizio)

[jimorrison1981]

buongiorno a tutti
ho la seguente forma quadratica
l'esercizio mi chiede di classificarla

x^2 + z^2 +2xy -2yz +1 =0


quante caratteristiche può avere una forma quadratica?

degenere/ non degenere
che tipo di conica rappresenta
segnatura
definita positiva/definita negativa/semidef. positiva/ semidef. negativa
assi di simmetria
centro
poi ?? altre caratteristiche ??!
grazie infinite

[Vicia]

Quando ti chiede di classificarla devi individuare che tipo di conica è. Se è una parabola, un'iperbole...
Lo devi fare tramite la matrice dei termini quadrati e in base al suo determinate. Sai come si fa?
Poi in generale quando chiedono di classificarla, la devi poi ruotare, così da eliminare il termine rettangolare e tornare nella forma conica della conica.

[jimorrison1981]

trovare la segnatura, autovettori ecc giusto?

[Vicia]

Umh..
Quando devi verificare che conica è devi vedere il determinate della matrice 2x2 dei termini quadrati. Sei il determinante è maggiore di zero è un'ellisse(reale o immaginaria(da verificare con gli autovalori)), se il determinante è uguale a zero è una parabola, se è minore di zero sarà un'iperbole.
Quando vai a ricercare gli autovalori e segui tutto procedimento successivo è per ruotare la conica,se è questo che intendevi

[jimorrison1981]

per trovare la tipologia di conica basta trovare il det della matrice 2x2 perchè stiamo lavorando in R^3 quindi con x,y,z.
grazie

[Vicia]

Di nulla

[jimorrison1981]

quindi vale anche per R3 trovare il det 2x2 ?

[Vicia]

Per classificare la conica devi osservare il determinante della matrice costituita dai termini quadrati (coefficienti dei termini di secondo grado). Io in generale ho svolto questi calcoli sempre in $RR^2$ quindi il determinante era relativo ad una matrice 2x2. Se siamo in $RR^3$ ci spostiamo nello spazio. Penso sia diverso.

[jimorrison1981]

quindi devi considerare il det di 3x3 ?