Sezioni Piane di una Quadrica

Messaggioda LoryMaster » 13/09/2017, 10:06

Mi servirebbero delle delucidazioni riguardo le condizioni da applicare per trovare le sezioni piane di una quadrica. Mi spiego meglio:

Data, nello spazio $RR^{3}$ riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali 0xyz, la quadrica di equazione:
\[Q : x^{2} + z^{2} + xy + x - z = 0\]

Classificarla e determinare su Q, se possibile, una sezione piana che sia un'ellisse, una che sia una parabola ed una che sia un'iperbole.


Per la classificazione, le matrici associate sono:
\[A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Da cui $detA > 0, detB != 0$ e gli autovalori di B di segni diversi, dunque la quadrica è un Iperboloide Iperbolico.

Ora per trovare le sezioni piane metto a sistema la quadrica con l'equazione generica di un piano :

$ { (x^{2} + z^{2} + xy + x - z = 0),(ax + by + cz + d = 0):} $

Suppongo $b != 0$ per mettere in evidenza la y e trovo:

$ { (x^{2} + z^{2} -\frac{a}{b}x^{2} -\frac{c}{b}xz -\frac{d}{b}x + x - z = 0),(y = -\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}z -\frac{d}{b}):}$

E a questo punto non so come continuare. Quali sono le condizioni da applicare per trovare ellisse, parabola ed iperbole???
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Re: Sezioni Piane di una Quadrica

Messaggioda Pierlu11 » 13/09/2017, 13:44

Se vuoi fare una classificazione più generale delle possibili sezioni puoi scrivere la nuova matrice associata alla conica che hai ottenuto con l'intersezione e discutere le condizioni che conosci dalla teoria al variare dei parametri.
Per essere precisi si dovrebbe sottolineare il fatto che quell'equazione che hai ottenuto è quella della tua conica proiettata sul piano $ y= 0 $ , ma proiettare non altera l'essere ellisse, iperbole o parabola essendo un'affinità (solo per $ b= 0 $ havresti problemi ma per ciò che hai fatto hai sicuramente posto $ b!= 0 $) e quindi si può utilizzare quell'equazione per la classificazione.
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Re: Sezioni Piane di una Quadrica

Messaggioda LoryMaster » 13/09/2017, 17:19

Non capisco cosa intendi... Intendi di fare la classificazione della conica trovata e usare quella come criterio? Non so se è possibile considerando che ho 3 incognite... ad esempio:

Se volessi trovare le sezioni piane che sono parabole, scelto $\frac{a}{b}=p, \frac{c}{b}=q, \frac{d}{b}=r$ dovrei classificare la seguente conica (che per semplicità scrivo come se fosse z = y, tanto non cambia nulla):

\[(1-p)x^{2} + y^{2} - qxy + (1-r)x - y = 0\]

Cioè il determinante della matrice dei coefficenti deve essere diverso da zero, ed il determinante della matrice dei termini quadratici deve essere uguale a zero:

\[A = \begin{bmatrix} 1-p & -\dfrac{q}{2} & 1-r \\ -\dfrac{q}{2} & 1 & -1 \\ 1-p & -1 & 0 \end{bmatrix}, B= \begin{bmatrix}
1-p & -\dfrac{q}{2} \\ -\dfrac{q}{2} & 1 \end{bmatrix}\]

Ma per avere il determinante di a dovrei risolvere un'equazione in 3 incognite essendo:

\[detA = 2q - pq - rq - 4 - 2r^{2} + 4r + 2p \neq 0\]

E già non posso andare avanti...
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Re: Sezioni Piane di una Quadrica

Messaggioda Pierlu11 » 13/09/2017, 18:35

Non so cosa intendi con "andare avanti"... è naturale che escono fuori tre condizioni sui parametri relative alle tre coniche e li la classificazione finirebbe.
In ogni caso l'esercizio ti dice di presentare un esempio per conica se non mi sbaglio. Se quindi non hai interesse a classificare le coniche che escono fuori in funzione del piano puoi anche scegliere direttamente piani particolari dando giustificazioni geometriche ed evitare di lavorare con i parametri.
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Re: Sezioni Piane di una Quadrica

Messaggioda LoryMaster » 13/09/2017, 19:07

Io, dal testo del problema ho intuito che dovessi trovare l'equazione di parabola, iperbole ed ellisse in forma esplicita ottenute studiando le sezioni piane della quadrica.

Ho un'equazione generica, delle sezioni piane. Con "andare avanti" intendo, come arrivo alle espressioni esplicite di almeno una sezione piana che sia una parabola, almeno una che sia un iperbole e almeno una che sia un ellisse?
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Re: Sezioni Piane di una Quadrica

Messaggioda Pierlu11 » 13/09/2017, 23:51

Se sei arrivata alle condizioni in funzione dei parametri dai dei valori abbastanza semplici che le soddisfino e le trovi, altrimenti lascia stare l'intersezione con il piano generico e procedi per via geometrica: fai il disegno della quadrica e prova a cercare direttamente i piani che danno iperbole, ellisse e parabola (dal tipo di punti che hai puoi dedurre subito quale conica riesci ad ottenere e quale no).
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