Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe) [Risolto]

Messaggioda J*k » 13/09/2017, 17:29

Premetto nuovamente, che non sono della materia e posso quindi dire qualche castroneria o proporre esercizi di enorme banalità per chi come voi è nel settore, per me invece sono di un'utilità immensa.

Detto questo non ho capito bene come funzionano le approssimazioni con Taylor, e vi sottopongo anche l'esercizio :

1) Taylor si può applicare per singole funzioni dentro il limite o va applicato necessariamente ad ognuno di essi?
$ lim_(x -> 0) (1/x^2 -1/sin^2(x)) $ In questo caso posso applicare Taylor solo sulla funzione seno?

2)Se comprimo la formula in questo modo: $ lim_(x -> 0) ((sin^2(x)- x^2)/(x^2* sin^2(x))) $ anziché passare direttamente per Taylor, dato che: $sin^2(x) = sin(x)*sin(x) $ e che $ sin(x) ~ x $
allora è lecito fare questa sostituzione : $ lim_(x -> 0) ((sin^2(x)- x^2)/(x^2* x^2)) $ ?

3) Se per Taylor $ sen(x) = x-x^3/(3!)+ o(x^3) $
dunque allora: $sen^2(x) = (x-x^3/(3!)+ o(x^3))^2$ giusto?

4) o-piccolo per come l'ho capito descrive una sorta di limitazione polinomiale il che vuol dire che se ho:
$o(x^3) + o(x^7) +o(x^5) = o(x^3) $ mentre non posso dire la stessa cosa per : $o(x^2) + o(x) +o(x^3) != o(x^3) $ é cosi ?

Grazie in anticipo!
Ultima modifica di J*k il 13/09/2017, 23:00, modificato 1 volta in totale.
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda francicko » 13/09/2017, 18:19

A denominatore la sostituzione $sin^2 (x)~~x^2$ è lecita in quanto abbiamo un prodotto, e avrai il termine $x^4$, diverso è a numeratore dove hai una differenza $sin^2 (x)-x^2$ , e quindi il coinvolgimento di termini successivi ad $x^2$, in tal caso come giustamente hai detto bisogna usare lo sviluppo in serie di Taylor $(x-x^3/(3!)+o (x^3))^2=x^2-x^4/3+o (x^4) $, con $o (x^4) $ si indicano tutti i termini dello sviluppo di grado superiore a $4$, che essendo infinitesimi sono trascurabili, a questo punto avendo effettuato le sostituzioni hai eliminato la forma indeterminata $0/0$ del limite è puoi procedere nel calcolo.
In generale con $o (x^n) $ si indicano tutti i termini infinitesimi di grado superiore ad $n $ successivi nello sviluppo polinomi le, quindi quello che asserisci mi sembra corretto.
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."

"Martin Luther King"
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda J*k » 13/09/2017, 19:25

Benissimo!
Infatti ora l'esercizio riesce alla perfezione, quello che non mi è ben chiaro però è la serie di Taylor o meglio ti spiego:

nel calcolarmi la serie di $sin^2(x)$ non mi torna questa equazione :$ (x-x^3/(3!)+o (x^3))^2=x^2-x^4/3+o (x^4) $

Se uso la classica definizione:
$ f(0)+(f^1(0)*x)/(1!)+ (f^2(0)*x^2)/(2!)+...+(f^n(0)*x^n)/(n!) = sum_(k=0)^n (f^k(0)*x^k)/(k!) $ tutto ok,
trovo quella equazione che mi hai scritto su , ma nel calcolarmi le varie derivate del prodotto dei seni, diventa un calcolo quasi noioso che esplode in somme di prodotti.
Quindi ti chiedo
1) Perchè se uso la classica definizione $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $ non funziona?
2) Forse C'è un metodo più veloce per ottenere quella equazione?

Grazie ancora!
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda otta96 » 13/09/2017, 20:00

J*k ha scritto:1) Perchè se uso la classica definizione $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $ non funziona?

Come mai dici che non funziona? è proprio quello il metodo veloce per fare queste cose (piuttosto che mettersi a derivare i prodotti), ovviamente devi usare l'algebra degli o piccoli, ad esempio nel caso di prima, si ha $o(x^2)+o(x)+o(x^3)=o(x)$ perché $o(x)$ è un termine di ordine minore, quindi dato che $x->0$, è quello a contare più di tutti.
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda J*k » 13/09/2017, 20:40

$ (x-x^3/(3!)+o(x^3) )^2 = $
$ x^2 +x^6/36+o(x^6) -(2x^4)/6- (2x^3*o(x^3))/6 + 2*o(x^4) = $
$ x^2+[-(x^4)/3 + 2*o(x^4)]+[x^6/36+o(x^6) - (o(x^6))/3]= $
$ x^2+[-(x^4)/3 + 2*o(x^4)]+[o(x^6)]= $

Se giustamente $ o(x^4) $ "mangia" $ o(x^6) $

e $ o(x^6) $ "mangiava" tutti quelli di grado pari al suo dentro la quadra,

perché allo stesso modo $ o(x^4) $ non "mangia" $ -x^4/3 $ ??

Grazie e scusa il dubbio.
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda otta96 » 13/09/2017, 21:43

Perché quando c'è $o(x^4)$, vuol dire che al posto di quello ci sarebbe una funzione che divisa per $x^4$, una volta passato al limite si ottiene $0$, in termini meno formali $o(x^4)$ rappresenta una qualsiasi funzione che va "più velocemente" (in questo caso) a $0$ di $x^4$, quindi si "mangia" $kx^5$, $kx^6$ ecc per qualsiasi costante $k$, ma non $kx^4$.
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda J*k » 13/09/2017, 22:49

Capisco ..quindi in realtà è $ o(x^4) $ che pulisce tutta la seconda parentesi quadra,
e non in primo luogo $ o(x^6) $ come ho scritto sopra, perché se non ci fosse stato $ o(x^4) $,
i termini della seconda parentesi graffa rimanevano tutti quanti ...giusto ?
(tranne ovviamente $ (-o(x^6))/3 $ che veniva mangiato da $ o(x^6) $ in quanto somma di o-piccoli )

P.s. Con tutti questi magna-magna credo di esser sazio di o-piccoli :-D !
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda otta96 » 13/09/2017, 22:52

Si hai capito perfettamente!
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Re: Limiti con Taylor con resto di Peano (dubbi + exe)

Messaggioda J*k » 13/09/2017, 22:59

Grazie ancora!
Passo e chiudo!

:smt023
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