[Cesenatico '98] Un polinomio

[dan95]

Siano $a_1, a_2, a_3$ e $a_4$ interi distinti e $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che
$P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1$
Mostrare che non esiste un intero $n$ tale che $P(n)=12$

[Pachisi]

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Consideriamo il polinomio $A(x)=P(x)-1$. Allora, $a_1$, $a_2$, $a_3$ e $a_4$ sono radici di $A(x)$. Allora, per qualche polinomio $B(x)$ a coefficienti interi possiamo scrivere $A(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)B(x)$. Se fosse $P(n)=12$, allora $A(n)=11$. Mostriamo che è impossibile. Per assurdo, suppponiamo che esista un $n$ intero tale che $A(n)=11$. Allora, $(n-a_1)(n-a_2)(n-a_3)(n-a_4)B(n)=11$. Essendo $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ distinti, i fattori $n-a_1$, $n-a_2$, $n-a_3$ e $n-a_4$ sono distinti. Però $11$ è primo, quindi almeno due di questi fattori devono essere uguali. Assurdo. Quindi, non esiste $n$ intero che soddisfa $A(n)=11$ e, quindi, neanche $P(n)=12$.

[dan95]

oook

[Erasmus_First]

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Consideriamo il polinomio $A(x)=P(x)-1$. Allora, $a_1$, $a_2$, $a_3$ e $a_4$ sono radici di $A(x)$. Allora, per qualche polinomio $B(x)$ a coefficienti interi possiamo scrivere $A(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)B(x)$.

Bravo Pachisi!!
Stavo per mettere la mia dimostrazione ... quando ho visto che la dimosrtrazione di Pachisi era sostanzialmente la stessa!
Insomma: Siccome il tuo $A(x)$ (cioè $P(x)-1$) si annulla quando $x$ vale uno dei quattro interi distinti $a_1$, $a_2$, $a_3$ e $a_4$, il resto della divisione di $A(x)$ per il divisore $D(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)$ è zero (e il tuo $B(x)$ il quoziente). Pertanto, per qualsiasi intero n distinto da ciascuno dei quattro "zeri", almeno due dei fattori di D(n) sono numeri primi.
In conclusione, per qualunque n intero tra i fattori di $P(n)-1$ ci sono sempre almeno due fattori primi.

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