Integrale per parti.

[SirDanielFortesque]

Salve, un esercizio richiede espressamente di risolvere per parti l'integrale $int sqrt(x^2+1) $ $dx$.

A me risulta, risolvendolo con la sostituzione $t=x+sqrt(x^2+1)$,
$int sqrt(x^2+1) $ $dx$ $=$ $1/8 * (x+sqrt(x^2+1))^2+1/2 ln(x+sqrt(x^2+1))-1/(8*(x+sqrt(x^2+1))^2)+c$

Sul libro però c'è scritto che dovrebbe risultare $ 1/2 x*sqrt(x^2+1)+1/2ln(x+sqrt(x^2+1))+c$.

Come posso arrivare, risolvendo per parti, al risultato del libro?

[orsoulx]

Se razionalizzi il terzo termine della tua espressione e lo sommi con il primo trovi, esattamente (non cambia neppure la costane di integrazione), il risultato proposta dal testo.
Ciao

[Cantor99]

Provo a risponderte e nel caso di errore qualcuno mi corregga!
Devi considerare che, essendo $sqrt(x^2+1)=1*sqrt(x^2+1)$, $1$ può essere considerato la derivata di $x$. Quindi
$\int 1*sqrt(1+x^2)dx=xsqrt(x^2+1)-\int \frac{x^2}{sqrt(1+x^2)}dx$
E per risolvere l'altro integrale probabilmente dovrai continuare per sostituzioni. Se ho tempo continuerò i passaggi!

[SirDanielFortesque]

Grazie a entrambi. Credo anch'io che risolvere per sostituzione sia la strada migliore.