Semplificare funzione y(x) in cui compaiono più y

Messaggioda Belsea » 11/10/2017, 23:53

Ciao a tutti,
probabilmente mi sono persa in un bicchiere d'acqua, ma risolvendo le equazioni differenziali separabili mi sono trovata con un risultato nella forma $ -1/y+y=x+c $ ($c$ costante) e, aiutata da Wolframalpha, risulta $ y(x)=1/2(x-root()(x^2+c^2+2cx+4)+c) or y(x)=1/2(x+root()(x^2+c^2+2cx+4)+c) $ . Il problema è che non so assolutamente come sia arrivato al secondo passaggio. :?

Grazie anticipatamente :)
Belsea
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Re: Semplificare funzione y(x) in cui compaiono più y

Messaggioda CaMpIoN » 12/10/2017, 00:41

Per prima cosa hai la condizione $y\ne 0$. La tua uguaglianza si tratta di un'equazione razionale da risolvere. Razionalizza tutti i termini
\(\displaystyle -1+y^2=y(x+c) \)
Sposta tutto a primo membro
\(\displaystyle y^2-y(x+c)-1=0 \)
Applica la formula risolutiva per l'equazione di secondo grado, ottieni
\(\displaystyle y=\frac{x+c\pm\sqrt{(x+c)^2+4}}{2}=\frac{x+c\pm\sqrt{x^2+2cx+c^2+4}}{2}=\frac{1}{2}\left(x+c\pm\sqrt{x^2+2cx+c^2+4}\right) \)
Prendendo le singole soluzioni ottieni il risultato
\(\displaystyle y(x)=\frac{1}{2}\left(x+c-\sqrt{x^2+2cx+c^2+4}\right)\qquad y(x)=\frac{1}{2}\left(x+c+\sqrt{x^2+2cx+c^2+4}\right) \)
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Re: Semplificare funzione y(x) in cui compaiono più y

Messaggioda Belsea » 12/10/2017, 08:35

M'ero veramente persa in un bicchiere d'acqua XD
Grazie mille, tutto chiaro adesso!
Belsea
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