Luca.Lussardi ha scritto:Seconda scuola (meno classica, ma e' la mia preferita): non si richiede nulla; se l'immagine di $f$ e' contenuta nel domino di $g$ ok, altrimenti la composizione viene la funzione vuota, che esiste secondo la teoria degli insiemi.
Non c'è alcuna ragione di pensare che la funzione vuota sia speciale o meno degna; ma ho idea tu non volessi scrivere questo, e che tu faccia confusione tra due categorie piuttosto diverse.
Nella categoria degli insiemi una funzione è (in particolare) il dato del suo dominio, per cui "l'insieme dei valori dove $f$ è definita" coincide con "il dominio di "f" per ogni funzione $f : X \to Y$.
Nella categoria degli insiemi e funzioni
parziali, al contrario, un morfismo è il dato di un
sottoinsieme del dominio di una funzione $f : X \to Y$; cosicché il fenomeno che descrivi (ossia il fatto che \(\text{trg}(f)\cap \text{src}(g) = \varnothing\) per due funzioni componibili $f,g$) può verificarsi. Ma in questo non c'è alcun problema: la composizione delle due funzioni parziali è la funzione vuota, e in ciò non esiste alcuna scelta classica o non classica, l'unica definizione possibile è cogente per il semplice fatto che tu vuoi che questa classe sia una categoria.
La categoria degli insiemi e funzioni parziali tuttavia è
estremamente diversa da quella delle funzioni totali: riesci a intuirne il motivo?