Funzione composta

[AnalisiZero]

Salve,
Avrei un dubbio riguardo la definizione di funzione composta.
Date due funzioni f di X in Y e g di Y in Z, la funzione composta g composto f è definita come g(f(x)) di X in Z.
Ciò che mi chiedo è:
La funzione g deve prendere elementi dall'insieme Y, ed essendo una funzione, ad ogni elemento di Y deve associare uno ed un solo valore in Z; ma se l'insieme delle immagini di f, f(X) non coincidesse con l'insieme Y, allora come potrebbe g, prendere ogni elemento di Y? Non si dovrebbe definire la funzione composta dicendo che f deve essere suriettiva? Altrimenti che valori dovrebbe prendere g da Y?

[Weierstress]

Se siamo d'accordo che $f$ manda $x$ in $Y$, allora dovremmo anche essere d'accordo che a $g$ viene dato in pasto $f(x)inY$. Non vedo dove stia il problema. $f(x)$ sicuramente appartiene a $Y$ per cui $g$ lo manda in $Z$ senza pensieri

Cosa ti importa poi di dove vengano mandati i punti $yinY$ che non sono immagine di nessuna $x inX$? Semplicemente saranno ignorati dalla composizione.

Vedila così: $f$ porta $x$ in $Y$, $g$ porta $f(x)$ in $Z$. Questo non significa che $g$ non porti gli altri punti del suo dominio a destinazione, solo, non sono interessato a quello nella mia definizione di composizione.

[Luca.Lussardi]

Ci sono due scuole di pensiero. Prima scuola (classica): si richiede che l'immagine di $f$ sia contenuta nel domino di $g$. Seconda scuola (meno classica, ma e' la mia preferita): non si richiede nulla; se l'immagine di $f$ e' contenuta nel domino di $g$ ok, altrimenti la composizione viene la funzione vuota, che esiste secondo la teoria degli insiemi.

[AnalisiZero]

Se siamo d'accordo che $f$ manda $x$ in $Y$, allora dovremmo anche essere d'accordo che a $g$ viene dato in pasto $f(x)inY$. Non vedo dove stia il problema. $f(x)$ sicuramente appartiene a $Y$ per cui $g$ lo manda in $Z$ senza pensieri

Cosa ti importa poi di dove vengano mandati i punti $yinY$ che non sono immagine di nessuna $x inX$? Semplicemente saranno ignorati dalla composizione.

Vedila così: $f$ porta $x$ in $Y$, $g$ porta $f(x)$ in $Z$. Questo non significa che $g$ non porti gli altri punti del suo dominio a destinazione, solo, non sono interessato a quello nella mia definizione di composizione.

Quindi per la definizione di funziona composta ci interessano solo gli argomenti di g che hanno controimmagine/i in X.
Quello che penso è, allora non si potrebbe scrivere direttamente, siano:
f : X in f(X)
g: f(X) in Z ??
Scritte così sembra più facile vedere cosa prende g, nel caso della composizione.

Grazie.

[killing_buddha]

Seconda scuola (meno classica, ma e' la mia preferita): non si richiede nulla; se l'immagine di $f$ e' contenuta nel domino di $g$ ok, altrimenti la composizione viene la funzione vuota, che esiste secondo la teoria degli insiemi.

Non c'è alcuna ragione di pensare che la funzione vuota sia speciale o meno degna; ma ho idea tu non volessi scrivere questo, e che tu faccia confusione tra due categorie piuttosto diverse.

Nella categoria degli insiemi una funzione è (in particolare) il dato del suo dominio, per cui "l'insieme dei valori dove $f$ è definita" coincide con "il dominio di "f" per ogni funzione $f : X \to Y$.

Nella categoria degli insiemi e funzioni parziali, al contrario, un morfismo è il dato di un sottoinsieme del dominio di una funzione $f : X \to Y$; cosicché il fenomeno che descrivi (ossia il fatto che \(\text{trg}(f)\cap \text{src}(g) = \varnothing\) per due funzioni componibili $f,g$) può verificarsi. Ma in questo non c'è alcun problema: la composizione delle due funzioni parziali è la funzione vuota, e in ciò non esiste alcuna scelta classica o non classica, l'unica definizione possibile è cogente per il semplice fatto che tu vuoi che questa classe sia una categoria.

La categoria degli insiemi e funzioni parziali tuttavia è estremamente diversa da quella delle funzioni totali: riesci a intuirne il motivo?

[Weierstress]

Quello che penso è, allora non si potrebbe scrivere direttamente, siano:
f : X in f(X)
g: f(X) in Z ??

Perché porsi il problema? $g$ è definita su un insieme $Y$. Poi valgono le considerazioni fatte sopra.

[garnak.olegovitc]

Salve,
Avrei un dubbio riguardo la definizione di funzione composta.
Date due funzioni f di X in Y e g di Y in Z, la funzione composta g composto f è definita come g(f(x)) di X in Z.
Ciò che mi chiedo è:
La funzione g deve prendere elementi dall'insieme Y, ed essendo una funzione, ad ogni elemento di Y deve associare uno ed un solo valore in Z; ma se l'insieme delle immagini di f, f(X) non coincidesse con l'insieme Y, allora come potrebbe g, prendere ogni elemento di Y? Non si dovrebbe definire la funzione composta dicendo che f deve essere suriettiva? Altrimenti che valori dovrebbe prendere g da Y?

un po confuso, mi unisco in parte a quanto detto dal @Luca.Lussardi mettendo un pizzico in più alla questione fissato io col vedere tutto puramente insiemisticamente (o klassi ovunque)... la composizione di funzione è composizione di relazioni prima di tutto, non esistono casi eslcusi, a dire il vero è un'operazione tra relazioni¹ che si chiama "prodotto relativo"² (fai attenzione a come definisce una relazione e noterai che non occorrono chissá quali condizioni particolari e tanto meno solo funzioni componibili o meno, puoi fare esempi con solo insiemi in senso generale), peccato che cliccando su "relative product" ti linka alla solita noiosa def. di composizione tralasciando tutto il divertimento.

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Note

1. se la vogliamo dirla tutta si definisce anche tra insiemi o klassi qualsiasi non per forza relazioni ↑
2. che strano titolo di pagina ma posso capire.. ↑

[killing_buddha]

Sì, il "prodotto relativo" è esattamente la composizione di due relazioni, di cui le funzioni sono un caso particolare.

[Luca.Lussardi]

Non c'è alcuna ragione di pensare che la funzione vuota sia speciale o meno degna; ma ho idea tu non volessi scrivere questo, e che tu faccia confusione tra due categorie piuttosto diverse.

Infatti io non ritengo assolutamente meno degna la funzione vuota, anzi e' proprio il contrario. Non credo di avere le idee confuse, semplicemente lascio volentieri la teoria delle categorie ai bourbakisti e rimango sulla teoria degli insiemi: per me una funzione e' una particolare relazione, e come tale posso comporre due funzioni qualsiasi. Questo mi basta.

[killing_buddha]

lascio volentieri la teoria delle categorie ai bourbakisti e rimango sulla teoria degli insiemi

Hai le idee piuttosto confuse sui bourbakisti, sulla teoria delle categorie e sul suo rapporto con la teoria degli insiemi