Fattorizzazione di polinomi

[Cojarvis]

Ciao a tutti,
mi chiamo Cosimo ed avrei un problema per quanto riguarda una scomposizione, non riesco a trovare un caso simile e per questo ho deciso di scrivervi, in quanto io ci sto provando ma non riesco a raggiungere il risolutato che gia conosco. Questo perchè devo risolvere una disequazione goniometrica ed ho usato la sostituzione, ottenendo $ 4t^2-2(sqrt(3) +sqrt(2)t)-sqrt(6)=0 $ .
Bene, ho moltiplicato il prodotto del termine di primo grado ed ho ottenuto $ 4t^2-2sqrt(2)t-sqrt(6)-2sqrt(3)=0 $ .
Da qui in poi non ho capito come proseguire. so già che fattorizzato viene $ 4(t-sqrt(3)/2)(t+sqrt(2)/2) $ . Come posso procedere? credo che se il prof abbia dato per scontato la risoluzione di questa fattorizzazione, sia una cosa semplice, ma come detto in un altro post io son 3 anni che non tocco libro e sto riacquisendo le basi, non mi interessa tanto la risoluzione dell'esercizio quanto capire il metodo. Vi ringrazio anticipatamente.


Cojarvis

[orsoulx]

Se provi a moltiplicare la fattorizzazione che sostieni di già conoscere, ottieni $ 4t^2-2(sqrt 3-sqrt 2) t -sqrt6 $,
diversa dal primo membro dell'equazione che hai scritto! Dunque almeno uno dei due è sbagliato.
Ciao

[teorema55]

Penso che l'errore (di svista o di calcolo) risieda nella posizione di $t$ nel testo iniziale: è dentro oppure fuori la parentesi tonda?

[Cojarvis]

Ciao a tutti,
mea culpa, nella prima ho scitto la t nella parentesi ma non è cosi. un errore nel ricopiarla qui chiedo scusa.quindi è fuori dalle parentesi.

[@melia]

Allora basta ricorrere alla scomposizione del trinomio attraverso le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata:
$ax^2+bx+c$ è scomponibile se l'equazione di secondo grado associata $ax^2+bx+c=0$ e, chiamando le soluzioni $x_1$ e $x_2$, la scomposizione sarà
$ax^2+bx+c= a(x-x_1)(x-x_2)$

Nel caso dell'esercizio in questione credo che il trinomio abbia anche un errore di segno e sia $4t^2-2(sqrt(3) -sqrt(2))t-sqrt(6)$ si scompone prendendo l'equazione associata
$4t^2-2(sqrt(3) -sqrt(2))t-sqrt(6)=0$, risolvendola
$t_(1,2)=((sqrt3-sqrt2)+- sqrt(3-2sqrt6+2+4sqrt6))/4=((sqrt3-sqrt2)+- sqrt(3+2sqrt6+2))/4=$
$=((sqrt3-sqrt2)+- sqrt((sqrt3+sqrt2)^2))/4=((sqrt3-sqrt2)+- (sqrt3+sqrt2))/4$
da cui le soluzioni $t_1=((sqrt3-sqrt2)- (sqrt3+sqrt2))/4=(-2sqrt2)/4=-sqrt2/2$ e
$t_2=((sqrt3-sqrt2)+ (sqrt3+sqrt2))/4=(2sqrt3)/4= sqrt3/2$

La scomposizione è, quindi, $a(t-t_1)(t-t_2)=4(t+sqrt2/2)(t-sqrt3/2)$

[Cojarvis]

ciao @melia, ti ringrazio per la risposta, vorrei chiederti perchè il discriminante lo elevi al quadrato per togliere la radice? Non dovreesti elevare anche l'altro prima della radice?

[@melia]

Non elevo niente al quadrato, constato solo che $3+2sqrt6+2=(sqrt3+sqrt2)^2$ e, in quanto quadrato, posso portarlo fuori dalla radice.

[Cojarvis]

Ah ecco, perfetto non avevo intuito. Grazie mille