Serie con parametro

[sine nomine]

Buongiorno, cercavo di dire per quali valori del parametro $ alpha $ la seguente serie converge
$ sum_(n = 1)^oo (n^alpha)/((n^6+4n)^(1/3)-sqrt(n^4-1)) $
ho pensato di partire razionalizzando, quindi se chiamo:
$ A=(n^6+4n)^(1/3) $ e $B=sqrt(n^4-1) $ visto che $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3$ ottengo:
$ sum_(n = 1)^oo (n^alpha*(n^6+4n)^(2/3)-((n^6+4n)^2*(n^4-1)^3)^(1/6)+n^4-1)/((n^6+4n)-(n^4-1)^(2/3)) $

ora avrei bisogno di un aiuto perchè non so come proseguire, non so neanche se razionalizzare è stata una buona idea o si poteva fare di meglio.
Grazie in anticipo.

[Weierstress]

Secondo me è più comodo sviluppare il denominatore. $(n^6+4n)^(1/3)=(n^6)^(1/3)(1+4/n^5)^(1/3)=n^2(1+4/3 1/n^5+o(1/n^5))=n^2+4/3 1/n^3+o(1/n^3)$

Poi ti basta osservare che $sqrt(n^4-1)∼n^2$ per ottenere $a_n∼n^(alpha)/(4/3 1/n^3)$ da cui puoi agevolmente concludere.

Non ho usato carta e penna quindi potrei aver sbagliato qualcosa, controlla i conti

[sine nomine]

Decisamente meglio che razionalizzare, grazie mille!