Calcolo limite per asintoto obliquo

[albertocorra]

Buon pomeriggio,
Sto studiando la seguente funzione $(x-11)*e^(x/(x+1))$.
Mi sono bloccato allo studio della terza "condizione" per trovare l'asintoto obliquo!
Mi spiego meglio:
Ho calcolato $\lim_{x \to \infty}(x-11)*e^(x/(x+1))$$=infty$

Poi ho calcolato $\lim_{x \to \infty}(x-11)/x*e^(x/(x+1))$=$e$ e ho trovato la m (coefficiente angolare) della retta

Ora per calcolarmi il termine noto ho dei problemi perché non capisco come andare avanti:

$\lim_{x \to \infty}(x-11)*e^(x/(x+1))-ex$ $\to$ $\lim_{x \to \infty}(-11e^(x/(x+1))+xe^(x/(x+1))-xe)$ $\to$ $-11e$ + $\lim_{x \to \infty} x(e^(x/(x+1))-e)$

Da qua in poi non so più andare avanti....credo che si possa utilizzare hopital ma il risultato non mi torna... dovrebbe venire $-12e$

[kobeilprofeta]

$lim [x*(e^frac{x}{x+1}-e)]=lim [x*(e^(1-frac{1}{x+1})-e)]=e*lim [x*(e^(-frac{1}{x+1})-1)]$ sostituzione $t=-frac{1}{x+1} to 0$ viene $e*lim [x*(e^(t)-1)/t*t]=e*lim[x*t]=e*lim[x*(-frac{1}{x+1})]=e*(-1)=-e$

Ora sommalo al $-11e$ che ha già ed ottieni il risultato che cerchi...

[albertocorra]

Per favore potresti risolverlo utilizzando hospital?... perché io non li ho mai risolti in questa maniera e non riesco a capire

[kobeilprofeta]

L'ho risolto nel modo più semplice possibile, usando i limiti notevoli. Cerca di capire tu e se non capisci un passaggio specifica bene cosa non capisci che te lo spiego.

[pilloeffe]

Ciao albertocorra,

Non che kobeilprofeta ti abbia risposto male (anzi... ), ma proverò a fartelo capire proseguendo dal punto dove ti sei bloccato:

$q = \lim_{x \to \infty}(-11e^(x/(x+1)) + x e^(x/(x+1)) - x e) = - 11e + lim_{x \to \infty} x(e^(x/(x+1))-e) $

Raccogliendo $e$ nell'ultimo limite, si ha:

$q = - 11e + lim_{x \to \infty} x(e^(x/(x+1)) - e) = - 11e + e \cdot lim_{x \to \infty} x(e^(- 1/(x+1)) - 1) = $
$ = - 11e + e \cdot lim_{x \to \infty} frac{- x}{x+ 1} frac{e^{- 1/(x+1)} - 1}{- 1/(x+1)} = - 11e - e \cdot lim_{x \to \infty} frac{x}{x+ 1} \cdot lim_{x \to \infty}frac{e^{- 1/(x+1)} - 1}{- 1/(x+1)} = $
$ = - 11e - e \cdot 1 \cdot 1 = - 12e $

ove per l'ultimo limite si è fatto uso del limite notevole $lim_{f(x) \to 0} frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} = 1 $