$\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n (x^2+n)/n^2 $
Parto dalla convergenza totale, quindi devo trovare una successione numerica $a_n$ a termini positivi con $\sum_{n=1}^(+infty) a_n $ convergente tale che
$abs((-1)^n (x^2+n)/n^2 ) <= a_n , AA n in NN$
Calcolo il sup di $f_n$ su $[0, +infty)$ visto che parliamo di una funzione pari
$text(sup) abs((-1)^n (x^2+n)/n^2 ) = text(sup)((x^2+n)/n^2)$
Facendo la derivata noto che la funzione è crescente in $[0,+infty)$ quindi posso concludere dicendo che il sup è $infty$ ? Io credo si debba calcolare $lim_(x->+infty) f_n$. Il limite è comunque infinito quindi la serie non converge totalmente in $RR$. Anche restringendo l'intervallo, studiandola su $[0,a], a>0$ la serie non converge totalmente visto che:
$text(sup)abs(f_n) = (a^2+n)/n^2 text( su ) [0,a]$
$sum_{n=1}^(+infty) abs((a^2+n)/n^2 ) ~~ sum_{n=1}^(+infty) 1/n$
Posso concludere dicendo che la serie non converge totalmente su $RR$
Semplicemente la serie non converge nemmeno assolutamente visto che:
$sum_{n=1}^(+infty) abs((-1)^n (x^2+n)/n^2 ) = sum_{n=1}^(+infty) (x^2+n)/n^2 ~~ sum_{n=1}^(+infty) 1/n$
Infine passo allo studio della convergenza puntuale utilizzando il Criterio di Leibniz, e semplicemente concludo affermando la convergenza puntuale. Per quanto riguarda la convergenza uniforme non saprei come procedere. Volevo sapere se il ragionamento che ho seguito è giusto, e sopratutto se nel calcolo del sup c'è bisogno del calcolo dei limiti agli estremi dell'intervallo
