Disequazioni irrazionale

[Berker]

Potreste farmi vedere come risolvereste questa disequazione?

$\frac{\sqrt{x- \sqrt{1-x}}}{1-\sqrt{x}}\leq 1$

Perché io mi sono fermato solamente alle condizioni di esistenza: $ x \in (\frac{\sqrt{5} -1}{2} , 1)$

[@melia]

Direi che le condizioni di esistenza siano $x \in [\frac{\sqrt{5} -1}{2} , 1)$, non capisco perché escludi $frac{\sqrt{5} -1}{2} $.

Poiché $x<1$ il denominatore è sempre positivo, quindi moltiplicherei per il denominatore

$sqrt{x- \sqrt{1-x}}leq 1-\sqrt{x}$ a questo punto eleverei tutto al quadrato

$x- \sqrt{1-x}<=1+x-2sqrtx$ isolo la prima radice

$sqrt{1-x}>=+2sqrtx-1$ il secondo membro, per le condizioni di esistenza, è sempre positivo, perciò posso elevare al quadrato senza ulteriori condizioni

$1-x>=4x-4sqrtx+1$ isolo a primo membro l'ultima radice rimasta

$4sqrtx>=5x$ di nuovo tutto al quadrato

$16x>=25x^2$ da cui $0<=x<=16/25$ da mettere a sistema con le condizioni di esistenza, la soluzione finale, a meno di errori di calcolo sarà
$(sqrt5-1)/2<=x<=16/25$

[Berker]

Grazie mille!