Contraddizione (o forse no?)

[studentemat]

Ciao a tutti!

Stavo svolgendo il seguente (banale) esercizio:

Sia $d=mcd(a,b)=ah+bk$ ($*$) dimostrare che $mcd(h,k)=1$.

Non mi interessa la risoluzione ("canonica") ma, vorrei che trovaste l'errore (!) in questo ragionamento che ho fatto:

Sia $D=mcd(h,k)$ allora $D|h$ e $D|k$ e $D$ divide una qualsiasi combinazione lineare di h e k, in particolare $*$, dunque $D|ah+bk=d$. Da qui se $d\ne 1$ come concludo che $D=1$ (potrebbe essere anche $D=qualcosa*d$ o no?)

[killing_buddha]

Se $D|d$ allora $d=Dm$, ma allora $m$ divide $a,b$ ed è più piccolo di $d$ non appena è diverso da $d$; questo è assurdo, perché $d$ è definito come il più piccolo (in modulo) numero che divide sia a che b.

[studentemat]

vero! grazie

[algibro]

Se $D|d$ allora $d=Dm$, ma allora $m$ divide $a,b$ ed è più piccolo di $d$ non appena è diverso da $d$; questo è assurdo, perché $d$ è definito come il più piccolo (in modulo) numero che divide sia a che b.

Scusatemi l'intromissione, in che senso $d=M.C.D.(a,b)$ è definito come il più piccolo in (in modulo) numero che divide sia $a$ che $b$ ?

[killing_buddha]

Ogni ideale di $\mathbb Z$ e' principale, ossia generato da un unico elemento: mcd(a,b) e' esattamente il generatore (unico a meno di associati, che in $\mathbb Z$ sono il segno) dell'ideale $(a,b) = (a)\vee(b)$. https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(ring_theory)#Ideal_generated_by_a_set

[algibro]

Ogni ideale di $\mathbb Z$ e' principale, ossia generato da un unico elemento: mcd(a,b) e' esattamente il generatore (unico a meno di associati, che in $\mathbb Z$ sono il segno) dell'ideale $(a,b) = (a)\vee(b)$. https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(ring_theory)#Ideal_generated_by_a_set

Mmh, ok, ma non conosco gli ideali.
Avevo però osservato, in maniera abbastanza bruttina, che:
Se $M.C.D.(a,b)=d$ allora $d=ax+by$ (1) per opportuni $x,y \in ZZ$
Inoltre $a=dn$ e $b=dm$ così $n=a/d$ e $m=b/d$.
Ora, se divido per $d$ la (1) ottengo $1=xn+ym$ e $M.C.D.(x,y)=1$

[killing_buddha]

Sì, esatto