Ideali coprimi

[ludovica_97]

"Sia R un anello commutativo e siano $I,J⊂R$ due ideali coprimi, vale a dire $I+J=R$.
Dimostrare che per ogni $m≥1$ si ha che $I^m+J^m=R$."
Io ho pensato di sfruttare il fatto che se due ideali sono coprimi allora per ogni $i,j∈R$ $i+j=1$ quindi questa cosa dovrebbe valere anche per $I^m$ e $J^m$ ma non so come proseguire

[killing_buddha]

$(i+j)^m=1^m$

[ludovica_97]

$(i+j)^m=1^m$

Non dovrebbe essere $i^m+j^m=1$?

[killing_buddha]

Non hai capito il suggerimento

Se esistono $i,j$ tali che $i+j=1$,allora $(i+j)^m$ continua a fare 1, ed è un elemento di $I^m+J^m$. Vero o no?

[ludovica_97]

Suppongo sia vero per il fatto che
$(i+j)^m=i^m+j^m$+altri elementi di grado piu' basso.
E l'ideale $I^m+J^m=(a,b)$ con a in $I^m$ e b in $j^m$, giusto?

[Martino]

Ludovica, ti conviene farti un esempio. Pensa a $I^2+J^2$. Hai $1=(i+j)^3=i^3+3i^2j+3ij^2+j^3$ e quindi chiamando $r=i^3+3i^2j in I^2$ e $s=3ij^2+j^3 in J^2$ hai $1=r+s in I^2+J^2$.