Derivata prima limitata

[Pigreco2016]

Sia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , positiva e derivabile due volte con $ f''(z)<M$, $M>0$ , $\forall z \in \mathbb{R}$.
Dimostrare che, $\forall x \in \mathbb{R}$, $|f'(x)|< \sqrt{2Mf(x)}$.
Il libro da anche un suggerimento: scrivere la formula di Taylor con centro x, arrestata al secondo ordime ed usare l'ipotesi su f''.
Quindi:
$f(z)=f(x)+f'(x)(z-x)+(f''(x))/2(z-x)^2 +o((z-x)^2)$. Ora applico l'ipotesi per ottenere una maggiorazione
$f(z)=f(x)+f'(x)(z-x)+(f''(x))/2(z-x)^2 +o((z-x)^2) < f(x)+f'(x)(z-x)+M/2(z-x)^2 +o((z-x)^2)$.
Ora non so più come continuare, qualche aiuto?

[Rigel]

Fissa \(x\in\mathbb{R}\). Per ogni \(h\) esiste un punto \(\xi_h\) appartenente al segmento di estremi \(x\) e \(x+h\) tale che
\[
0 < f(x+h) = f(x) + f'(x) h +\frac{f''(\xi_h)}{2} h^2 \leq f(x) + f'(x) h +\frac{M}{2} h^2.
\]
Poiché il polinomio di secondo grado in \(h\) a ultimo membro è sempre strettamente positivo, il suo \(\Delta\) deve essere strettamente negativo:
\[
\Delta = |f'(x)|^2 - 2 M f(x) < 0.
\]
Ma questa disuguaglianza è proprio quella che volevi dimostrare.

[Pigreco2016]

Grazie mille per la risposta. Tempo fa qualcuno aveva già posto questa domanda in questo sito e ho trovato la risposta che è simile a questa.