(Esercizio) Dimostrazione sulle applicazioni lineari

Messaggioda Whitman » 18/11/2017, 09:40

Buongiorno, questo è il mio primo post sul forum, nonostante vi segua da tempo, quindi spero di procedere nel modo corretto. Sono alle prese con questo esercizio:

Siano $V$, $W$ e $Z$ spazi vettoriali su un campo $bbb{K}$ e siano $f : V to W$ e $g : V to Z$ applicazioni lineari. Si mostri che $Ker f sube Ker g iff EE L : W to Z$ lineare tale che $g = L$ \(\circ\) $f$.

Nella prima implicazione, tenendo, quindi, ferma l'ipotesi che $Ker f sube Ker g$, ho dapprima mostrato che, nel caso generale, se $EE$ \(v_1, v_2\) $in V$ tali che $f$ \((v_1)\) $= f$ \((v_2)\) e $g$ \((v_1)\) $!= g$ \((v_2)\) si ha che $f$ \((v_1)\) $- f$ \((v_2)\) $!= g$ \((v_1)\) $- g$ \((v_2)\) per linearità $f$ \((v_1 - v_2)\) $= 0 != g$ \((v_1 - v_2)\), che implica \(v_1- v_2\) $in Ker f$ ma \(v_1- v_2\) $notin Ker g$, assurdo per l'ipotesi.

A questo punto ho bisogno di definire un'applicazione lineare che verifichi sempre l'inclusione e noto che, se ${$\(v_1, \dots , v_k\)$}$ è base del $Ker f$, posso completarla a una base ${$\(v_s, \dots , v_r\)$}$ del $Ker g$ e a una base ${$\(v_t, \dots , v_n\)$}$ di $V$ in questo modo ${$\(v_1, \dots , v_k, v_s, \dots, v_r, v_t, \dots , v_n\)$}$, si ha, quindi che \(v_s,..., v_r, v_t,..., v_n\) generano $Im f$.

Se non ho commesso errori teorici e/o di ragionamento, il mio obiettivo per definire $L$ è che si abbia $L(f(v)) = g(v)$, con $L$ definita su $L($\(v_s\)$),..., L($\(v_r\)$)$, però sono a un punto di stallo nello specificare un'immagine per tutta la mappa $L$. Anche perché, volendo considerare una base di $W$ invece che di $V$, non sempre gli $f(v)$ formano una base, appunto, di $W$ - a esempio: se $f$ non è suriettiva -.

Se avete suggerimenti e/o correzioni: sono tutte orecchie :D grazie!
Whitman
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Re: (Esercizio) Dimostrazione sulle applicazioni lineari

Messaggioda Plepp » 21/11/2017, 01:47

Whitman ha scritto:Buongiorno, questo è il mio primo post sul forum, nonostante vi segua da tempo, quindi spero di procedere nel modo corretto.

Ciao Whitman, benvenuto :-)
Whitman ha scritto:Siano $V$, $W$ e $Z$ spazi vettoriali su un campo $bbb{K}$ e siano $f : V to W$ e $g : V to Z$ applicazioni lineari. Si mostri che $Ker f sube Ker g iff EE L : W to Z$ lineare tale che $g = L$ \(\circ\) $f$.

Nella prima implicazione, tenendo, quindi, ferma l'ipotesi che $Ker f sube Ker g$, ho dapprima mostrato che, nel caso generale, se $EE$ \(v_1, v_2\) $in V$ tali che $f$ \((v_1)\) $= f$ \((v_2)\) e $g$ \((v_1)\) $!= g$ \((v_2)\) si ha che $f$ \((v_1)\) $- f$ \((v_2)\) $!= g$ \((v_1)\) $- g$ \((v_2)\) per linearità $f$ \((v_1 - v_2)\) $= 0 != g$ \((v_1 - v_2)\), che implica \(v_1- v_2\) $in Ker f$ ma \(v_1- v_2\) $notin Ker g$, assurdo per l'ipotesi.

A questo punto ho bisogno di definire un'applicazione lineare che verifichi sempre l'inclusione e noto che, se ${$\(v_1, \dots , v_k\)$}$ è base del $Ker f$, posso completarla a una base ${$\(v_s, \dots , v_r\)$}$ del $Ker g$ e a una base ${$\(v_t, \dots , v_n\)$}$ di $V$ in questo modo ${$\(v_1, \dots , v_k, v_s, \dots, v_r, v_t, \dots , v_n\)$}$, si ha, quindi che \(v_s,..., v_r, v_t,..., v_n\) generano $Im f$.

Se non ho commesso errori teorici e/o di ragionamento, il mio obiettivo per definire $L$ è che si abbia $L(f(v)) = g(v)$, con $L$ definita su $L($\(v_s\)$),..., L($\(v_r\)$)$, però sono a un punto di stallo nello specificare un'immagine per tutta la mappa $L$. Anche perché, volendo considerare una base di $W$ invece che di $V$, non sempre gli $f(v)$ formano una base, appunto, di $W$ - a esempio: se $f$ non è suriettiva -.

Se avete suggerimenti e/o correzioni: sono tutte orecchie :D grazie!

Mi sembra che sull'idea ci sei quasi, ma non riesci a metterla in pratica. Vediamo...

Per definire $L$, ci basta definirla su una base $(w_1,...,w_m)$ di $W$; dopodiché $L$ è automaticamente determinata su tutto $W$ grazie alla linearità:
\[\forall w=\sum_i \lambda_i w_i\in W,\qquad L(w)=\sum_i \lambda_i L(w_i)\]
Cerchiamo dunque una base di $W$ che fa al caso nostro.

Scegliamo $(w_1,...,w_m)$ in modo che $(w_1,...,w_r)$ - con $r\le m$ - sia una base di $"Im" f$; esisteranno dunque $v_1,...,v_r\in V$ tali che $w_i=f(v_i)$. Affinché $g=L\circ f$ dobbiamo porre
\[L(w_i):=g(v_i)\qquad i=1,\dots, r\]
Qua scatta l'ipotesi sui nuclei di $f$ e $g$: la definizione è ben posta e l'hai dimostrato tu stesso nella prima parte del post.
Su $w_{r+1},...,w_m$ possiamo definire $L$ a casaccio:
\[L(w_i):=z_i\qquad i=r+1,\dots, m\]
Comunque si scelgano i vettori $z_i$ in $Z$, si ha comunque $g=L\circ f$. Nota dunque che le possibili $L$ sono infinite (una per ogni scelta dei vettori $z_i$).

Ciao ;)
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Re: (Esercizio) Dimostrazione sulle applicazioni lineari

Messaggioda Whitman » 21/11/2017, 18:51

Mille grazie, sei stato chiarissimo. Non è la prima volta che mando in cantina una buona intuizione scritta al momento sbagliato: serve esercizio in vista del primo parziale :-D
Whitman
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