Integrale improprio irrazionale fratto

Messaggioda IndividuoX » 20/11/2017, 19:26

Salve a tutti. Vorrei chiedere come si può dimostrare che l'integrale improprio:

$\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}dx=\pi $ con $0\leqa<b$

E' un risultato dato sul mio libro, ma non riesco a dimostrarlo. :? Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille. :smt023
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Re: Integrale improprio irrazionale fratto

Messaggioda pilloeffe » 20/11/2017, 20:30

Ciao IndividuoX,

Un'idea ce l'avrei, ma non è proprio elementare... :wink:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$\int_a^b [(x - a)(b - x)]^{n/2} dx = i\pi Res {[(x - a)(b - x)]^{n/2}}_{z = \infty} \qquad n = - 1, 1, 3, 5, ... $

Dopo un po' di conti si trova

$Res {[(x - a)(b - x)]^{n/2}}_{z = \infty} = - e^{-i n \pi/2 } sum_{k + l = n + 1}( (n/2) , (k) )( (n/2) , (l) )a^k b^l $

Per cui si ha:

$\int_a^b [(x - a)(b - x)]^{n/2} dx = - i\pi e^{-i n \pi/2 } \sum_{k + l = n + 1} ( (n/2) , (k) )( (n/2) , (l) )a^k b^l $

Per $n = - 1 $ la sommatoria si riduce ad un unico termine, quello con $k = l = 0 $ e dunque vale $1$; da ciò segue subito

$ \int_a^b frac{dx}{sqrt{(x - a)(b - x)}} = \pi $

come volevasi dimostrare.
pilloeffe
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Re: Integrale improprio irrazionale fratto

Messaggioda IndividuoX » 20/11/2017, 21:07

pilloeffe ha scritto:Ciao IndividuoX,

Un'idea ce l'avrei, ma non è proprio elementare... :wink:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$\int_a^b [(x - a)(b - x)]^{n/2} dx = i\pi Res {[(x - a)(b - x)]^{n/2}}_{z = \infty} \qquad n = - 1, 1, 3, 5, ... $

Dopo un po' di conti si trova

$Res {[(x - a)(b - x)]^{n/2}}_{z = \infty} = - e^{-i n \pi/2 } sum_{k + l = n + 1}( (n/2) , (k) )( (n/2) , (l) )a^k b^l $

Per cui si ha:

$\int_a^b [(x - a)(b - x)]^{n/2} dx = - i\pi e^{-i n \pi/2 } \sum_{k + l = n + 1} ( (n/2) , (k) )( (n/2) , (l) )a^k b^l $

Per $n = - 1 $ la sommatoria si riduce ad un unico termine, quello con $k = l = 0 $ e dunque vale $1$; da ciò segue subito

$ \int_a^b frac{dx}{sqrt{(x - a)(b - x)}} = \pi $

come volevasi dimostrare.


Grazie mille... però ti devo dire che l'analisi complessa purtroppo non la conosco (per ora è troppo avanzata per me)... :oops:

P.S.
Penso si possa usare una sostituzione di Eulero... anche se i calcoli si fanno complicati...
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Re: Integrale improprio irrazionale fratto

Messaggioda cooper » 20/11/2017, 23:10

$int_(a)^(b)1/sqrt(-x^2-(-b-a)x-ab)dx = int_(a)^(b)1/sqrt(-(x-(b+a)/2)^2+(b+a)^2 / 4-ab)dx = int_(a)^(b)1/sqrt(1-t^2)dt $
adesso dovresti poter continuare da solo:
- $t=(2x-b-a)/(2sqrt((b+a)^2 / 4 -ab))$
- l'integrale in t fa l'arcoseno
- gli estremi li ho lasciati invariati perchè preferisco risostituire la t e fare i calcoli con a,b
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Re: Integrale improprio irrazionale fratto

Messaggioda pilloeffe » 21/11/2017, 06:46

Mi è venuto in mente un altro metodo, più elementare rispetto a quello proposto inizialmente, ma non più breve... :wink:
Con $b > a \ge 0 $ si ha:

$int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}dx = int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{- x^2 + (a + b)x - ab}} = int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{- x^2 + sx + p}} $

avendo posto $s := a + b $ e $p := - ab $.
Il trinomio a denominatore ha $\Delta > 0 $, infatti $\Delta = s^2 + 4p = (a + b)^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 > 0 $
per cui ponendo $t := sqrt{frac{b - x}{x - a}} $, equivalente a $sqrt{- x^2 + (a + b)x - ab} = (x - a)t $, da cui per $x \to a \implies t \to +\infty $ e per $x = b \implies t = 0 $, l'integrale proposto si trasforma nell'integrale di una funzione razionale.
Infatti elevando al quadrato si ha:

$- x^2 +(a +b)x - ab = x^2t^2 - 2axt^2 + a^2t^2 $
$x^2(1 +t^2) - 2(at^2 + frac{a + b}{2})x + a(at^2 + b) = 0 $
$x_{1, 2} = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm sqrt{(at^2 + frac{a + b}{2})^2 - a(1 +t^2)(at^2 + b)}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm sqrt{a^2t^4 + at^2(a + b) + (a + b)^2/4 - a(at^2 + b + at^4 + bt^2)}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm sqrt{a^2t^4 + a^2t^2+ abt^2 + (a + b)^2/4 - a^2t^2 - a b - a^2t^4 - a bt^2}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{1}{2} sqrt{(a + b)^2 - 4a b}}{1 + t^2} = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{1}{2} sqrt{(a - b)^2}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{a - b}{2}}{1 + t^2}$

Scegliendo la soluzione col segno $+$ si ha:

$x = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{a - b}{2}}{1 + t^2} = frac{a(1 + t^2)}{1 + t^2} = a $

che naturalmente non è accettabile; scegliendo invece quella col segno $-$ si ottiene

$x = frac{at^2 + b}{1 + t^2} = frac{at^2 + a - a + b}{1 + t^2} = frac{a(1 + t^2) + b - a}{1 + t^2} = a + frac{b - a}{1 + t^2} \implies x - a = frac{b - a}{1 + t^2} \implies $
$ \implies dx = - frac{2t(b - a)}{(1 + t^2)^2} dt $

Quindi in definitiva si ha:

$int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}dx = int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{- x^2 + (a + b)x - ab}} = int_{+\infty}^{0} frac{- frac{2t(b - a)}{(1 + t^2)^2}}{frac{t(b - a)}{1 + t^2}} dt = 2 int_{0}^{+\infty} frac{dt}{1 + t^2} =$
$= 2 [arctan t]_0^{+\infty} = 2 [\pi/2 - 0] = \pi $
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Re: Integrale improprio irrazionale fratto

Messaggioda IndividuoX » 21/11/2017, 10:22

Grazie mille sia a Cooper sia a pilloeffe... entrambi i modi vanno benissimo. ;)
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