Mi è venuto in mente un altro metodo, più elementare rispetto a quello proposto inizialmente, ma non più breve...
Con $b > a \ge 0 $ si ha:
$int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}dx = int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{- x^2 + (a + b)x - ab}} = int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{- x^2 + sx + p}} $
avendo posto $s := a + b $ e $p := - ab $.
Il trinomio a denominatore ha $\Delta > 0 $, infatti $\Delta = s^2 + 4p = (a + b)^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 > 0 $
per cui ponendo $t := sqrt{frac{b - x}{x - a}} $, equivalente a $sqrt{- x^2 + (a + b)x - ab} = (x - a)t $, da cui per $x \to a \implies t \to +\infty $ e per $x = b \implies t = 0 $, l'integrale proposto si trasforma nell'integrale di una funzione razionale.
Infatti elevando al quadrato si ha:
$- x^2 +(a +b)x - ab = x^2t^2 - 2axt^2 + a^2t^2 $
$x^2(1 +t^2) - 2(at^2 + frac{a + b}{2})x + a(at^2 + b) = 0 $
$x_{1, 2} = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm sqrt{(at^2 + frac{a + b}{2})^2 - a(1 +t^2)(at^2 + b)}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm sqrt{a^2t^4 + at^2(a + b) + (a + b)^2/4 - a(at^2 + b + at^4 + bt^2)}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm sqrt{a^2t^4 + a^2t^2+ abt^2 + (a + b)^2/4 - a^2t^2 - a b - a^2t^4 - a bt^2}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{1}{2} sqrt{(a + b)^2 - 4a b}}{1 + t^2} = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{1}{2} sqrt{(a - b)^2}}{1 + t^2} = $
$ = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{a - b}{2}}{1 + t^2}$
Scegliendo la soluzione col segno $+$ si ha:
$x = frac{at^2 + frac{a + b}{2} \pm frac{a - b}{2}}{1 + t^2} = frac{a(1 + t^2)}{1 + t^2} = a $
che naturalmente non è accettabile; scegliendo invece quella col segno $-$ si ottiene
$x = frac{at^2 + b}{1 + t^2} = frac{at^2 + a - a + b}{1 + t^2} = frac{a(1 + t^2) + b - a}{1 + t^2} = a + frac{b - a}{1 + t^2} \implies x - a = frac{b - a}{1 + t^2} \implies $
$ \implies dx = - frac{2t(b - a)}{(1 + t^2)^2} dt $
Quindi in definitiva si ha:
$int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}dx = int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{- x^2 + (a + b)x - ab}} = int_{+\infty}^{0} frac{- frac{2t(b - a)}{(1 + t^2)^2}}{frac{t(b - a)}{1 + t^2}} dt = 2 int_{0}^{+\infty} frac{dt}{1 + t^2} =$
$= 2 [arctan t]_0^{+\infty} = 2 [\pi/2 - 0] = \pi $