Considero $(X,d)$ spazio metrico e $YsubsetX,Yne emptyset$
Definisco la chiusura di $Y$ come l’insieme dei punti di aderenza di $Y$ e lo scriverò come $C(Y)$
Ora devo mostrare che $C(Y)$ è un insieme chiuso e che $Y$ è chiuso sse $Y=C(Y)$
Intanto mostro che $C(Y)$ è chiuso.
Se $x in XsetminusC(Y)$ allora esiste $r>0:B(x,r)capC(Y)=emptyset$
Pertanto $forally inB(x,r)=>y in XsetminusC(Y)$ quindi $B(x,r)subseteqXsetminusC(Y)$ ovvero $XsetminusC(Y)$ è aperto e quindi $C(Y)$ è chiuso.
Ora mostro che $Y$ è chiuso sse $C(Y)=Y$
<= ) è ovvia per quanto appena mostrato.
=> ) dobbiamo mostrare che vale la doppia inclusione
Ora se $x inY$ allora è chiaro che $B(x,r)capYne emptyset,forallr>0$ poiché $d(x,x)=0<r=>x inB(x,r),forallr>0$
Dunque ogni punto che appartiene a $Y$ è aderente ad esso e quindi $YsubseteqC(Y)$
Ora l’idea che che uso per mostrare che quanto serve è che se $Y$ è chiuso allora una successione di elementi di $Y$ che converge in $X$ converge ad un punto di $Y$.
Quindi se $x inC(Y)$ allora $B(x,r)capYne emptyset,forallr>0$ facendo variare $r in{1/(n+1):n inNN}$ otteniamo una successione $(x_n)_(n inNN)$ di elementi di $Y$ con la proprietà che $d(x_n,x)<1/(n+1),foralln inNN$
Da cui si ottiene che $x_n->x$ per confronto e poiché per ipotesi $Y$ è chiuso allora $x in Y$.
Pertanto $Y=C(Y)$
Diciamo che errori non ne ho trovati.