\( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda Delirium » 17/11/2017, 19:05

Si definisce per \(s \in \mathbb{R} \) lo spazio di Sobolev frazionario \[H^s = H^s (\mathbb{R}^n) = \left\{ u \in \mathcal{S}' \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^s |\hat{u}(\xi)|^2 \, d \xi < \infty \right\} \]ove con \(\mathcal{S}' \) e' indicato lo spazio delle distribuzioni temperate mentre con \(\hat{\cdot} \) indico la trasformata di Fourier. Al solito \[ L^1 (\mathbb{R}^n ) = \left\{f \text{ misurabile} \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} |f| \, dx < \infty \right\}. \]

Problema: mostrare che \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\).
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Re: \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda dissonance » 22/11/2017, 16:56

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
IDEA. Sia \(\delta\) la distribuzione di Dirac. Allora "\(\delta\in L^1(\mathbb R^n)\)" (link), ma \(\delta\notin H^{-\frac n 2}(\mathbb R^n)\).

Dimostrazione formale. Occorre trovare una successione \(f_k\) tale che \(\|f_k\|_1\le C\) e \(\|f_k\|_{H^{-\frac n 2} } \to \infty\). Fissata \(f\in \mathcal S\) tale che \(\int_{\mathbb R^n} f(x)\, dx\ne 0\), si definisce
\[
f_k(x):=k^n f(kx).\]
Per costruzione, \(\|f_k\|_1=\|f\|_1\). Siccome \(\hat{f}_k(\xi)= \hat{f} (k^{-1}\xi)\), si ha che \[\| f_k\|_{H^{-\frac n 2}}^2 = \int_{\mathbb R^n} (1+|\xi|^2)^{-n/2} |\hat{f}(k^{-1}\xi)|^2\, d\xi\to |\hat{f}(0)|^2\int_{\mathbb R^n}(1+|\xi|^2)^{-\frac n 2}\, d\xi=+\infty.\]
Qui abbiamo usato il fatto che \(\hat{f}(0)=\int_{\mathbb R^n} f(x)\, dx\).
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Re: \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda Delirium » 22/11/2017, 23:33

Esatto. Io l'avevo fatto col teorema del grafico chiuso, sempre partendo dall'idea della \(\delta\).
"Dualmente" si può mostrare che \(H^{n/2} \not\subset L^\infty\).
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Re: \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda dissonance » 23/11/2017, 13:22

Qui sollevi una riflessione secondo me interessante. Abbiamo dimostrato che \(L^1\) non è contenuto in \(H^{-\frac n 2}\) con un esempio molto semplice, la delta di Dirac. Per dualità questo equivale a dimostrare che \(H^\frac{n}{2}\) non è contenuto in \(L^\infty\). La dimostrazione diretta di quest'ultimo fatto in genere usa esempi più complicati. Sull'Evans si mostra che una funzione con un polo di ordine \(\log\log\) è in \(H^{\frac n 2}\) pur non essendo in \(L^\infty\).

Domanda. Esiste un esempio "distribuzionale", più semplice possibile, che mostri come \(H^{\frac n 2}\not\subset L^\infty\)? Tale esempio dovrebbe essere in qualche senso duale al fatto che \(\delta\in L^1\) e \(\delta\notin H^{-\frac n 2}\).
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Re: \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda Delirium » 23/11/2017, 17:58

dissonance ha scritto:[...] Per dualità questo equivale a dimostrare che \(H^\frac{n}{2}\) non è contenuto in \(L^\infty\). [...]

Pero' aspetta, questo non e' vero in generale (se ho capito bene quello che stai dicendo). Se hai due spazi di Banach \(E \subset F\) potrebbe non darsi \(F^* \hookrightarrow E^*\). Credo ti serva la densita' di \(E\) in \(F\) per avere un'immersione iniettiva.

dissonance ha scritto:Domanda. Esiste un esempio "distribuzionale", più semplice possibile, che mostri come \(H^{\frac n 2}\not\subset L^\infty\)? Tale esempio dovrebbe essere in qualche senso duale al fatto che \(\delta\in L^1\) e \(\delta\notin H^{-\frac n 2}\).

Con "dualmente" intendevo esattamente questo. Credo si possa fare, forse giocando un po' con il prodotto scalare di \(H^s\).
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Re: \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda dissonance » 23/11/2017, 18:09

Delirium ha scritto:Pero' aspetta, questo non e' vero in generale (se ho capito bene quello che stai dicendo). Se hai due spazi di Banach \(E \subset F\) potrebbe non darsi \(F^* \hookrightarrow E^*\). Credo ti serva la densita' di \(E\) in \(F\) per avere un'immersione iniettiva.
Si, va bene, ma tanto qui tutte le immersioni sono dense. Non ci perdiamo in quisquilie. Meglio ragionare su questo:
Con "dualmente" intendevo esattamente questo. Credo si possa fare, forse giocando un po' con il prodotto scalare di \(H^s\).

Se ti va, fai qualche conto, anche informale, anzi, meglio se informale. Sono curioso di sapere che aspetto potrebbe avere questa distribuzione in \(H^\frac{n}2\) e non in \(L^\infty\).
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Re: \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda Delirium » 23/11/2017, 22:18

Ci ho provato un po' ma non ho ottenuto niente di sensato. C'è un collega dottorando che aveva ottenuto qualcosa di esplicito, domani mi faccio dare qualche suggerimento.
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Re: \( L^1 \not\subset H^{-n/2}\)

Messaggioda Delirium » 24/11/2017, 14:01

Ok, scrivo quello che ho; e' un argomento di dualita' (uso il pairing tra \(H^{n/2}\) e \(H^{-n/2}\)), ma non so se da questo si possa ottenere qualcosa di esplicito: se supponiamo \(L^\infty \supseteq H^{n/2} \), allora \( \| f\|_{L^\infty} \lesssim \|f\|_{H^{n/2}} \) per il teorema del grafico chiuso (l'immersione e' continua). Allora si ha che, per ogni \(g \in H^{-n/2}\), \[\|g\|_{H^{-n/2}} = \sup_{h \in \mathcal{S}, \, \|h\|_{H^{n/2}}=1} \left| \int_{\mathbb{R}^n} \hat{g}(x) \hat{h}(x) \, dx \right|=\sup_{h \in \mathcal{S}, \, \|h\|_{H^{n/2}}=1} \left| \int_{\mathbb{R}^n} g(x) h(x) \, dx \right| \lesssim \|g\|_{L^1} \|h\|_{L^\infty} \lesssim \|g\|_{L^1}, \]assurdo per quanto hai dimostrato tu.
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