daenerys ha scritto:Per il grafico della parte frazionaria di x ok, che poi presenta dei punti di discontinuità per per ogni intero giusto? La stessa cosa varrebbe per questa funzione
Non proprio. Poiché $g(x):=4/\pi \arctan x$ è continua e strettamente crescente, $f(x):=\{4/\pi \arctan x\}=\{g(x)\}$ ha una discontinuità ogniqualvolta $g(x)$ è intero, ossia in ogni punto $x$ tale che
\[\frac{4}{\pi}\arctan x= k,\qquad k\in \mathbb{Z}. \tag{$\star$}\]
Cerchiamo questi $x$. Visto che
\[-2<\frac{4}{\pi}\arctan x<2, \qquad \forall x\in \mathbb{R},\]
l'equazione $(\star)$ può avere soluzioni solo per $k=-1,0,1$.
Ora chiedo a te (altrimenti l'esercizio te lo finisco io e non va bene): per questi valori di $k$, l'equazione ammette soluzioni? Se sì, quante e quali?