Ciao daenerys,
daenerys ha scritto:Quindi mi riscrivo 1= 1(cos0 + i sen0) e poi faccio tutti i vari casi con le 12 radici?
Direi di no... Innanzitutto si vede subito che $z = 0 $ è una soluzione della prima equazione, che però non soddisfa la disequazione $ |z| > 1 $. Poi credo che la cosa migliore sia porre $w := frac{z + 1}{z - 1} $, $ z \ne 1 $ sicché occorre risolvere l'equazione seguente:
$w^12 = 1 $
che, scritto $w =\rho e^{i\theta} $, diventa
$\rho^12 e^{i12\theta} = 1 \implies \rho = 1$ e $ 12\theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = k frac{\pi}{6}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 $ (poi le soluzioni si ripetono). Si trova:
$w_0 = 1 $
$w_1 = 1e^{i\pi/6} = cos(pi/6) + i sin(\pi/6) = sqrt{3}/2 + i 1/2 $
$w_2 = 1e^{i\pi/3} = cos(pi/3) + i sin(\pi/3) = 1/2 + i sqrt{3}/2 $
$w_3 = 1e^{i\pi/2} = cos(pi/2) + i sin(\pi/2) = i $
$w_4 = 1e^{i frac{2\pi}{3}} = cos(frac{2\pi}{3}) + i sin(frac{2\pi}{3}) = - 1/2 + i sqrt{3}/2 $
$w_5 = 1e^{i frac{5\pi}{6}} = cos(frac{5\pi}{6}) + i sin(frac{5\pi}{6}) = - sqrt{3}/2 + i 1/2 $
$w_6 = 1e^{i \pi} = cos(\pi) + i sin(\pi) = - 1 $
$w_7 = 1e^{i frac{7\pi}{6}} = cos(frac{7\pi}{6}) + i sin(frac{7\pi}{6}) = - sqrt{3}/2 - i 1/2 $
$w_8 = 1e^{i frac{4\pi}{3}} = cos(frac{4\pi}{3}) + i sin(frac{4\pi}{3}) = - 1/2 - i sqrt{3}/2 $
$w_9 = 1e^{i frac{3\pi}{2}} = cos(frac{3\pi}{2}) + i sin(frac{3\pi}{2}) = - i $
$w_10 = 1e^{i frac{5\pi}{3}} = cos(frac{5\pi}{3}) + i sin(frac{5\pi}{3}) = 1/2 - i sqrt{3}/2 $
$w_11 = 1e^{i frac{11\pi}{6}} = cos(frac{11\pi}{6}) + i sin(frac{11\pi}{6}) = sqrt{3}/2 - i 1/2 $
Lascio a te scoprire quali sono le soluzioni che conducono ai $4$ valori di $z$ che soddisfano $|z| > 1 $.