Sistema numeri complessi

[daenerys]

Devo risolvere il seguente sistema per $z in C$

$ { ( (z+1)^12 =(z-1)^12 ),( |z|>1 ):} $

Io l'ho provato a risolvere così (voglio giusto sapere se il procedimento è giusto oppure no)

considero z = a + i b, dove ovviamente $a,b in R$
prendo la prima equazione del sistema che me la scrivo come:
$ ((z+1)/(z-1)) = (1)^(1/12) = 1$
da qui ho sostituito la z come l'ho scritta sopra ed alla fine dei calcoli ho posto la parte reale del membro di sinistra = 1, mentre la parte immaginaria = 0, ottenendo i risultati seguenti:

se b=0 => a= 1 (e quindi dalla seconda dis. del sistema escludo questa soluzione)
se b=2 => a=3 e siccome in modulo è >1 ho una soluzione per z= 3+2i

Sbaglio oppure come procedimento è esatto?

[Bremen000]

Ci sono ben 12 numeri complessi che sono la radice 12-esima di 1!!

[daenerys]

Giustamente, avevo un dubbio su quello. Quindi mi riscrivo 1= 1(cos0 + i sen0) e poi faccio tutti i vari casi con le 12 radici?

[pilloeffe]

Ciao daenerys,

Quindi mi riscrivo 1= 1(cos0 + i sen0) e poi faccio tutti i vari casi con le 12 radici?

Direi di no... Innanzitutto si vede subito che $z = 0 $ è una soluzione della prima equazione, che però non soddisfa la disequazione $ |z| > 1 $. Poi credo che la cosa migliore sia porre $w := frac{z + 1}{z - 1} $, $ z \ne 1 $ sicché occorre risolvere l'equazione seguente:

$w^12 = 1 $

che, scritto $w =\rho e^{i\theta} $, diventa

$\rho^12 e^{i12\theta} = 1 \implies \rho = 1$ e $ 12\theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = k frac{\pi}{6}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 $ (poi le soluzioni si ripetono). Si trova:

$w_0 = 1 $
$w_1 = 1e^{i\pi/6} = cos(pi/6) + i sin(\pi/6) = sqrt{3}/2 + i 1/2 $
$w_2 = 1e^{i\pi/3} = cos(pi/3) + i sin(\pi/3) = 1/2 + i sqrt{3}/2 $
$w_3 = 1e^{i\pi/2} = cos(pi/2) + i sin(\pi/2) = i $
$w_4 = 1e^{i frac{2\pi}{3}} = cos(frac{2\pi}{3}) + i sin(frac{2\pi}{3}) = - 1/2 + i sqrt{3}/2 $
$w_5 = 1e^{i frac{5\pi}{6}} = cos(frac{5\pi}{6}) + i sin(frac{5\pi}{6}) = - sqrt{3}/2 + i 1/2 $
$w_6 = 1e^{i \pi} = cos(\pi) + i sin(\pi) = - 1 $
$w_7 = 1e^{i frac{7\pi}{6}} = cos(frac{7\pi}{6}) + i sin(frac{7\pi}{6}) = - sqrt{3}/2 - i 1/2 $
$w_8 = 1e^{i frac{4\pi}{3}} = cos(frac{4\pi}{3}) + i sin(frac{4\pi}{3}) = - 1/2 - i sqrt{3}/2 $
$w_9 = 1e^{i frac{3\pi}{2}} = cos(frac{3\pi}{2}) + i sin(frac{3\pi}{2}) = - i $
$w_10 = 1e^{i frac{5\pi}{3}} = cos(frac{5\pi}{3}) + i sin(frac{5\pi}{3}) = 1/2 - i sqrt{3}/2 $
$w_11 = 1e^{i frac{11\pi}{6}} = cos(frac{11\pi}{6}) + i sin(frac{11\pi}{6}) = sqrt{3}/2 - i 1/2 $

Lascio a te scoprire quali sono le soluzioni che conducono ai $4$ valori di $z$ che soddisfano $|z| > 1 $.

[daenerys]

Eh era così che intendevo sopra, ho trovato infatti le dodici radici e poi esempio per k=0 dall'equazione di partenza non ottengo soluzione, invece se prendo la soluzione per k=1 ottengo
$ z+1 = (1/2 +i sqrt(3)/2)(z-1)$ me la risolvo in funzione di z e poi vedo se ottengo o meno un numero complesso di modulo maggiore di 1. Giusto così,vero?

[pilloeffe]

Sì, o magari è più comodo sostituendo $a + ib $ al posto di $z$.
Alla fine comunque dovresti trovare che il sistema proposto ha le $4 $ soluzioni immaginarie pure seguenti:

$z_{1,2} = \pm i sqrt{3} $
$z_{3,4} = \pm i sqrt{7 + 4sqrt{3}} $

[daenerys]

Sì sì mi vengono! Grazie infinite