otta96 ha scritto:In questo caso va bene, ma in generale potrebbe non essere una topologia, per rimediare bisogna chiedere che $K$ sia chiuso oltre che compatto (cosa che nei non $T_2$ non è necessariamente vera).
Ma la cosa meravigliosa è che avevo la definizione scritta davanti ma non ho copiato la parola "chiuso" dal foglio al pc. Poi tanto ero in $QQ$ che è di Hausdorff e quindi non me ne sono preoccupato. Grazie per avermelo fatto notare!
otta96 ha scritto:Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $ RR $" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.
Mah, in realtà ho fatto così perché ho rimuginato molto su chiusi e aperti di $QQ$. Cioè, $QQ$ è T2 e dunque i compatti sono chiusi ma può essere che ci siano chiusi in $QQ$ che siano pure aperti no? Tipo $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))$. Dunque la conclusione $\text{ aperto } \Rightarrow \neg (\text{compatto})$ mi pareva azzardata. Di fatto poi i compatti di $QQ$ credo siano solo insiemi finiti o successioni convergenti in $QQ$ e loro unioni finite, ergo un aperto non è mai compatto.
otta96 ha scritto:P.S. Questo mi dà modo di rilanciare parzialmente l'esercizio, chiedo di trovare una caratterizzazione interna a X di quando X∞ è connesso (la seconda parte dell'esercizio rimane comunque da fare).
In questi giorni, in treno o in momenti di particolare creatività cercherò di fare qualcosa sulla seconda parte!