Esercizio confronto stimatori

Messaggioda Harris! » 30/11/2017, 13:27

Ah certo! Si, ho capito il procedimento e compreso meglio l'applicazione della teoria. In questi giorni mi sto esercitando sulla Normale approfondendo l'argomento e la likelihood prima di andare oltre. E in questi alcune tipologie di esercizi devo ancora interpretarli nel modo corretto.
Questa per dire è un confronto della MSE per poter valutare quale estimatore sia migliore rispetto ad un altro:

Consider a sample of size \(\displaystyle n=8\) from the \(\displaystyle Uniform(θ,θ+4)\) distribution where \(\displaystyle θ>0\).
Consider two estimators of θ:\(\displaystyle \)

\(\displaystyle T_1=\overline{X} \) \(\displaystyle T_2=5 \overline{X}\)


(where \(\displaystyle \overline{X} \) denotes the sample mean). By comparing the corresponding MSEs, establish whether \(\displaystyle T_1\) is better than \(\displaystyle T_2\)to estimate \(\displaystyle θ\).


If \(\displaystyle X∼Uniform(a,b) \), allora \(\displaystyle Var(X)=(b−a)^2/12\) e \(\displaystyle E(X)=(a+b)/2 \)

Quindi con \(\displaystyle U(θ,θ+4)\)

\(\displaystyle Var(x)=(θ+4-θ)^2/12=4/3\)

E

\(\displaystyle Var(T1)= (4/3)/8=1/6\)

E ugualmente

Per \(\displaystyle E(x)=(θ+θ+4)/2=θ+2\)

\(\displaystyle E((T1−θ)^2)=Var(T1−θ)+E(T1−θ)^2\)
\(\displaystyle = 1/6 + ((θ+2)-θ)^2\)
\(\displaystyle = 25/6\)

Che risulta essere il risultato del primo estimatore mentre il secondo essendo 5 volte la media si può concludere che tra i due è migliore \(\displaystyle T_1 \).
Harris!
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Re: Esercizio stimatori distribuzione uniforme

Messaggioda tommik » 30/11/2017, 13:58

per tenere la stanza in ordine preferisco avere un topic ogni esercizio


Per la soluzione immagino tu abbia fatto anche dei conti prima di arrivare alla conclusione (da come hai scritto non si capisce)

In questo caso è giusto ma ricorda infatti che se la distorsione dipende da $theta$ (come accade con $T_2$) occorre valutare se i due MSE sono sempre uno minore dell'altro oppure se vi sono degli intervalli in cui la preferenza cambia

Domanda: In questo esercizio sapresti calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza per $theta$?
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Re: Esercizio confronto stimatori

Messaggioda Harris! » 30/11/2017, 21:19

Ad essere sincero ho provato a calcolare il massima verosimiglianza, ma mi trovo in difficoltà ad interpretare quel \(\displaystyle theta+4 \) ...

L'altro punto che dicevi se avevo fatto i conti per l'altro in realtà no, mi sono soltanto basato sul fatto che in \(\displaystyle T_2 \) la media è 5 volte maggiore, ma credo di aver sbagliato probabilmente...
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Re: Esercizio confronto stimatori

Messaggioda tommik » 01/12/2017, 12:03

intendevo dire che gli errori quadratici medi dei due stimatori sono

$EQM(T_1)=25/6$

$EQM(T_2)=25/6+(4theta+10)^2$

e quindi non ci sono storie... è meglio $T_1$; come vedi però la distorsione del secondo stimatore cambia al variare di $theta$ nel suo dominio...in generale potresti trovarti in situazioni di indecisione, ovvero con le funzioni dei due errori quadratici che si intersecano....tutto qui

Per la domanda che ti ho posto, evidentente la funzione di verosimiglianza è costante nel suo dominio...quindi tutti i valori del dominio sono stimatori di massima verosimiglianza. Il quesito si sposta dunque nel seguente modo: qual è il dominio della verosimiglianza $L_(ul(x))(theta)$?

PS: ti può interessare anche questo, postato oggi da un altro utente.
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Re: Esercizio confronto stimatori

Messaggioda Harris! » 06/12/2017, 23:41

Allora per rispondere alla tua domanda e dimmi se sbaglio:

$ L(theta)= theta^(Sigmax) (1-theta)^(n-Sigmax) $

$ log L= Sigmax log theta + (n - Sigmax) log(1-theta) $

$ partial/(partialtheta)logL= Sigmax 1/theta + (n - Sigmax) 1/(1-theta) ( -1)$

$ ((1- theta)Sigmax - theta( n - Sigmax))/( theta ( 1- theta)) =0 $

$ hat(theta) = Sigmax//n = overline{X} $

Ho guardato l'esercizio che mi hai consigliato di vedere, seguendo i tuoi calcoli e passaggi dell'esercizio credo di aver capito anche devo ancora approfondire. Quello che non ho capito è il calcolo dello stimatore iniziale. Riusciresti a chiarirmi questo punto?
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Re: Esercizio confronto stimatori

Messaggioda tommik » 06/12/2017, 23:56

Dunque Harris!

La soluzione che hai postato è lo stimatore MV di una bernulli e non ho capito a cosa si riferisca.

Veniamo ai due esercizi:

1) quello della uniforme in $[theta;theta+4]$ hai la densità che è $f(x)=1/(b-a)=1/4$ su tutto il dominio e quindi la verosimiglianza è costante

$L(theta)=1/4^8$ dato che il campione è di ampiezza 8

Ciò significa che

$theta<=X_1<=theta+4$

$theta<=X_2<=theta+4$
....

$theta<=X_8<=theta+4$

Quindi possiamo scrivere che

$Max(X)-4<=theta<=min(X)$

in conclusione qualunque punto compreso fra il massimo valore meno 4 e il minimo valore delle osservazioni è uno stimatore di massima verosimiglianza di $theta$. In questo esempio il modello non è regolare, dato che il dominio dipende dal parametro, e quindi non si può applicare la solita regola di derivare la log-verosimiglianza e porla =0.

2) Invece per l'esercizio che ha postato @Walter97lor, ovvero questo

$f(y)=theta(1-y)^(theta-1)$

si fa così:

$L(theta)=theta^nPi_i(1-y_i)^(theta-1)$

$logL=nlogtheta+(theta-1)sum_i log(1-y_i)$

$partial/(partialtheta)logL=n/theta+sum_i log(1-y_i)=0 rarr hat(theta)=-n/(sum_i log(1-y_i))$

per il resto dell'esercizio forse è un po' troppo avanzato per il tuo livello attuale. No problem :) un passo alla volta: è solo questione di prenderci un po' la mano .....se non è chiaro fammi sapere.
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