Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda Bremen000 » 07/12/2017, 01:14

Volevo proporre questo esercizio che ho trovato particolarmente interessante, il punto 1 è risolubile con le conoscenze di analisi 1 e un po' di ingegno e il punto due con le conoscenze di analisi uno e (molto) più ingegno.

1. Si calcoli $\int_0^{\pi} \log(cos(x/2))dx$

2. Si consideri un $n$-agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Si fissi uno dei vertici e si considerino tutti i segmenti che congiungono tale vertice con uno degli altri vertici.
Si calcoli la media geometria delle lunghezze di questi segmenti e si deduca da essa il risultato di 1.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 525 di 940
Iscritto il: 08/09/2015, 12:16

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda anto_zoolander » 07/12/2017, 01:34

Se ho capito cosa intendi per il primo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
con i numeri complessi trovi che i vertici di un $n-$agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $1$ sono i punti $V_k=(cos((2kpi)/N),sin((2kpi)/N))$ con $N$ numero di vertici e $k=0,..,N-1$

Fisso $V_0$ e considero le lunghezze $||vec(V_0V_k)||$ per arrivare a:

$g(N)=root(N-1)(prod_(k=1)^(N-1)||vec(V_0V_k)||)=root(2(N-1))(2*prod_(k=1)^(N-1)(1-cos((2kpi)/N))$

Dice WolframAlpha che $lim_(N->+infty)g(N)=1$ e io mi fido :-D


gli edit sono correzioni
Ultima modifica di anto_zoolander il 07/12/2017, 08:10, modificato 4 volte in totale.
Gli indiani già sapevano che lo scalpo fosse una varietà pettinabile :-k
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1597 di 3030
Iscritto il: 06/10/2014, 16:07
Località: Palermo

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda caffeinaplus » 07/12/2017, 01:58

Ho controllato per il punto 1 su wolfram la.soluzione e mi ha spaventato :-D

Quindi posto come avrei fatto io per capire dove ho sbagliato

$int ln(cos(x/2)) dx$
$int ln(sqrt((1+cosx)/2)) dx$
$1/2 int ln(1+cosx) - ln(2) dx$
$-1/2xln(2) + int ln(1+cosx) dx$

A questo punto avrei continuato o per parti o per sostituzione e vorrei capire se ne vale la pena o già ci sono errori.Dopo aver calcolato l'indefinito sarei passato al calcolo dell'area richiesta
caffeinaplus
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 130 di 241
Iscritto il: 17/11/2016, 11:29

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda Bremen000 » 07/12/2017, 10:14

@anto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
L'idea è quella giusta! Ma non calcolare il limite, non subito almeno..bisogna riuscire a trovare un espressione esplicita per quella produttoria e da lì dovrebbe essere poi facile tirare fuori delle belle somme di Riemann...


@caffeinaplus
Ma non è così brutto il risultato! I conti che hai scritto sono giusti ma non posso garantire che portino da qualche parte; io l'ho risolto in un certo modo ma non è detto che ce ne sia uno solo (anzi, penso ne esistano $n$ distinti...)

E mollatelo sto wolfram :-D :-D
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 527 di 940
Iscritto il: 08/09/2015, 12:16

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda feddy » 07/12/2017, 10:34

@Bremen000
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Formule di Eulero per il seno e coseno...?
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1626 di 2243
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda Bremen000 » 07/12/2017, 10:52

@feddy
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se ti riferisci al punto 1 io non le ho usate.
Nel punto 2 io le ho usate ma si può fare anche senza, basta essere più svegli di me!
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 529 di 940
Iscritto il: 08/09/2015, 12:16

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda anto_zoolander » 07/12/2017, 19:19

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si ho notato qualcosa passando all’esponenziale.

Ma per il primo si devono sfruttare delle proprietà della funzione in quel particolare intervallo no? Calcolare la primitiva è impossibile
Gli indiani già sapevano che lo scalpo fosse una varietà pettinabile :-k
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1598 di 3030
Iscritto il: 06/10/2014, 16:07
Località: Palermo

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda Bremen000 » 07/12/2017, 20:12

@anto
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Esponenziale --> ok!
Per l'integrale: certo, non esiste una primitiva di quella funzione esprimibile come combinazione di funzioni elementari.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 530 di 940
Iscritto il: 08/09/2015, 12:16

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda anto_zoolander » 07/12/2017, 20:29

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ero arrivato al fatto che quella quantità coincidesse con

$exp(lim_(N->+infty)1/(2N-2)sum_(k=1)^(N-1)log(2-2cos((2kpi)/N))$

Devo solo farmi un’idea di come farlo degenerare in un integrale. Solo che ancora diciamo che non ci ho messo mano per calcolarlo perché avevo sonno :-D stasera vedo di farli e li posto.
Gli indiani già sapevano che lo scalpo fosse una varietà pettinabile :-k
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1599 di 3030
Iscritto il: 06/10/2014, 16:07
Località: Palermo

Re: Integrale simpatico e $n$-agono regolare

Messaggioda pilloeffe » 08/12/2017, 10:54

Ciao a tutti,

Ci sono diversi metodi per risolvere l'integrale proposto al punto 1. Qui di seguito ne propongo uno comprensibile con le conoscenze di Analisi I.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Posto $ x := 2t \implies dx = 2dt $, per $x = 0 \implies t = 0$, per $x = \pi \implies t = pi/2 $ per cui si ha:

$ \int_0^{\pi} \ln(cos(x/2))dx = 2 \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt = 2 \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt $

ove l'ultima eguaglianza è stata trovata sostituendo $t $ con $pi/2 - t $. Dunque posto $I := \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt = \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt $ si ha:

$I + I = \int_0^{\pi/2} \ln(cos t)dt + \int_0^{\pi/2} \ln(sin t)dt = \int_0^{\pi/2} \ln(sin t cos t) dt = \int_0^{\pi/2} \ln(frac{2sin t cos t}{2}) dt \implies $
$\implies I = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln[sin(2t)] dt - frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} ln 2 = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln[sin(2t)] dt - frac{1}{2}ln 2 \int_0^{\pi/2} dt \implies $
$\implies I = frac{1}{4}\int_0^{\pi} \ln(sin u) du - frac{\pi}{4} ln 2 = frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \ln(sin t) dt - frac{\pi}{4} ln 2 = frac{I}{2} - frac{\pi}{4} ln 2 \implies$
$I = - frac{\pi}{2} ln 2 $

Dunque in definitiva si ha:

$ \int_0^{\pi} \ln(cos(x/2))dx = 2 I = - \pi ln 2 $


Poi ci sono un paio di metodi basati sulle somme di Riemann ed anche un altro un po' più avanzato... Se riesco ad avere un po' di tempo ne posto qualcuno.
pilloeffe
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1053 di 2042
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 21 ospiti